Question

[Kyozou]

Cho a,b,c là các số thực dương và a+b+c=1.Chứng minh rằng: a²+b²+c²>=\(\frac{1}{3}\)

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với 2 bộ số \(\left(a,b,c\right)\)và \(\left(1,1,1\right)\)ta có: 

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\).

Dấu \(=\)xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\).

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Còn cách khác :3 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :

\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/3

Vậy ta có điều phải chứng minh