Cho hình chóp S . A B C có S A ⊥ A B C , ∆ A B C là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng S B C .
A. h = a 3 7
B. h = a 3 2
C. h = 2 a 7
D. h = a 3 7
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn đáp án B
Gọi là H hình chiếu của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC). Khi đó, ta có
Ta có
Tương tự, ta cũng chứng minh được
Từ đó suy ra
Do SH ⊥ AB, BH ⊥ AB nên suy ra góc giữa (SAB) và (ABC) là góc SBH. Vậy SBH = 60 0
Trong tam giác vuông ABH, ta có
Trong tam giác vuông SHB, ta có
a.
Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\) \(\Rightarrow SH\perp CD\)
Gọi E là trung điểm CD \(\Rightarrow HE||BC\Rightarrow HE\perp CD\)
\(\Rightarrow CD\perp\left(SHE\right)\)
Từ H kẻ \(HF\perp SE\)
\(\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)
\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a), \(HE=BC=a\)
Hệ thức lượng: \(HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)
Do \(AH||CD\Rightarrow AH||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)
b.
Theo tính chất trọng tâm, ta có \(GS=\dfrac{2}{3}HS\)
Mà \(HG\cap\left(SCD\right)=S\Rightarrow d\left(G;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(H;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}\)
c.
Từ H kẻ \(HK\perp SA\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow AD\perp HK\)
\(\Rightarrow HK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)
Hệ thức lượng: \(HK=\dfrac{SH.AH}{\sqrt{SH^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
Do \(BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(BC;SD\right)=d\left(BC;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\cap\left(SAD\right)=A\\BA=2HA\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow d\left(BC;SD\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)=2d\left(H;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp BC\)
Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
Gọi K là trung điểm CD \(\Rightarrow HK||BC\Rightarrow HK\perp AB\Rightarrow HK\perp\left(SAB\right)\)
Trong tam giác SHK, kẻ \(HI\perp SK\Rightarrow HI\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow HI=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)
Mà \(AH||CD\Rightarrow AH||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)=HI\)
\(SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(HK=BC=a\)
\(\dfrac{1}{HI^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{7}{3a^2}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)
b. Theo cmt ta có \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=BC=a\)
c. \(BC||AD\Rightarrow d\left(C;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)
Mà BH cắt (SAD) tại A, đồng thời \(BA=2HA\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=2d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)
Từ H kẻ \(HM\perp SA\Rightarrow HM\perp\left(SAD\right)\Rightarrow HM=d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{HM^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{16}{3a^2}\Rightarrow HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)
\(\Rightarrow d\left(C;\left(SAD\right)\right)=2HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Chọn D