Question

[Nguyễn Sỹ Trung]

Tính tổng hai số nguyên a va b khác nhau biết chúng là các số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn a⁷=b⁸

Answer 1

[ngo thừa ân]

Vì a và b là các số nguyên dương khác nhau nên nếu 1 số bằng 1 thì số kia cũng bằng 1 vậy a và b đều lớn hơn 1. 
Do a>1 nên tồn tại ít nhất một ước số nguyên tố. giả sử p là ước nguyên tố của a. 
Giả sử: a=c.p^n; n≥1 và UCLN(c, p)=1. 
a ⋮ p => a^7 ⋮ p => b^8 ⋮ p . 
do p nguyên tố nên => b ⋮ p. giả sử b = d.p^m; m≥1 và UCLN(d, p)=1. 
Ta có a^7 = c^7.p^(7n) và b^8 = d^8.p^(8m). 
=>c^7.p^(7n) = d^8.p^(8m). 
do UCLN(c, p) =1 => UCLN(c^7, p)=1 => UCLN(c^7, p^(8m))=1 
tương tự UCLN (d^8, p^(7n))=1. 
=> c^7=d^8 và p^(7n)=p^(8m). 
a, b nhỏ nhất => c=d=1. 
p^(7n)=p^(8m) => 7n=8m. => m ⋮ 7 và n ⋮ 8 => m,n nhỏ nhất là n=8 và m=7. 
=>a=p^8 và b=p^7.

p nguyên tố nhỏ nhất là p=2. 
=> a=2^8=256 và b=2^7=128 => a+b = 256+128=384.