Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tận dụng kết quả giao tuyến của một mặt phẳng với hai mặt phẳng song song là hai đường thẳng song song, ta có tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Đáp án D.
a) Giả sử (A’B’C’) ∩ d = D’
⇒ (A’B’C’) ∩ (C’CD) = C’D’.
+ AA’ // CC’ ⊂ (C’CD)
⇒ AA’ // (C’CD).
AB // CD ⊂ (CC’D)
⇒ AB // (CC’D)
(AA’B’B) có:
⇒ (AA’B’B) // (C’CD).
Mà (A’B’C’) ∩ (AA’B’B) = A’B’
⇒ (A’B’C’) cắt (C’CD) và giao tuyến song song với A’B’
⇒ C’D’ // A’B’.
b) Chứng minh tương tự phần a ta có B’C’ // A’D’.
Tứ giác A’B’C’D’ có: B’C’ // A’D’ và C’D’ // A’B’
⇒ A’B’C’D’ là hình bình hành.
a) Ta có hai mặt phẳng song song là: (Ax, AD) // (By, BC)
Hai mặt phẳng này bị cắt bởi mặt phẳng (β) nên ta suy ra các giao tuyến của chúng phải song song nghĩa là A′D′ // B′C′.
Tương tự ta chứng minh được A′B′ // D′C′. Vậy A', B', C', D' là hình bình hành. Các hình thang AA'C'C và BB'D'D đều có OO' là đường trung bình trong đó O là tâm của hình vuông ABCD và O' là tâm của hình bình hành A',B',C',D'. Do đó: AA′ + CC′ = BB′ + DD′ = 2OO′
b) Muốn hình bình hành A',B',C',D' là hình thoi ta cần phải có A'C' ⊥ B'D'. Ta đã có AC ⊥ BD. Người ta chứng minh được rằng hình chiếu vuông góc của một góc vuông là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng chiếu hay nằm trong mặt chiếu. Vậy A', B', C', D' là hình thoi khi và chỉ khi A'C' hoặc B'D' song song với mặt phẳng (α) cho trước. Khi đó ta có AA' = CC' hoặc BB' = DD'.
c) Muốn hình bình hành A', B', C', D' là hình chữ nhật ta cần có A'B' ⊥ B'C', nghĩa là A'B' hoặc B'C' phải song song với mặt phẳng (α)(α). Khi đó ta có AA' = BB' hoặc BB' = CC', nghĩa là hình bình hành A', B', C', D' có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng (α) cho trước.
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel DD'\\DD' \subset \left( {CC'D'D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AA'\parallel \left( {CC'D'D} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}AB\parallel C{\rm{D}}\\C{\rm{D}} \subset \left( {CC'D'D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {CC'D'D} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\AB\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\AA',AB \subset \left( {AA'B'B} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( P \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = A'B'\\\left( P \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = C'D'\end{array} \right\} \Rightarrow A'B'\parallel C'D'\left( 1 \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}AD\parallel BC\\BC \subset \left( {BB'C'C} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AD\parallel \left( {BB'C'C} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel BB'\\BB' \subset \left( {BB'C'C} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AA'\parallel \left( {BB'C'C} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}AA'\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\AD\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\AA',AD \subset \left( {AA'D'D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {AA'D'D} \right)\parallel \left( {BB'C'C} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'D'D} \right)\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\\left( P \right) \cap \left( {AA'D'D} \right) = A'D'\\\left( P \right) \cap \left( {BB'C'C} \right) = B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow A'D'\parallel B'C'\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(A'B'C'D'\) là hình bình hành.
Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}},O' = A'C' \cap B'{\rm{D}}'\)
\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC,B{\rm{D}}\), \(O'\) là trung điểm của \(A'C',B'{\rm{D}}'\).
\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = AA'\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = CC'\end{array} \right\} \Rightarrow AA'\parallel CC'\)
\( \Rightarrow AA'C'C\) là hình thang
\(O\) là trung điểm của \(AC\)
\(O'\) là trung điểm của \(A'C'\)
\( \Rightarrow OO'\) là đường trung bình của hình thang \(AA'C'C\)
\( \Rightarrow AA' + CC' = 2OO'\left( 3 \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = BB'\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = DD'\end{array} \right\} \Rightarrow BB'\parallel DD'\)
\( \Rightarrow BB'D'D\) là hình thang
\(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\)
\(O'\) là trung điểm của \(B'D'\)
\( \Rightarrow OO'\) là đường trung bình của hình thang \(BB'D'D\)
\( \Rightarrow BB' + DD' = 2OO'\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(AA' + CC' = BB' + DD'\left( { = 2OO'} \right)\).
a)
+ Do ABCD là hình bình hành có tâm O- giao điểm hai đường chéo
=> O là trung điểm AC và BD( tính chất hình bình hành)
* Xét tam giác SAC có SA= SC nên tam giác SAC cân tại S
Lại có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: SO ⊥ AC
+ Tương tự, tam giác SBD cân tại S có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:
b) SO ⊥ (α) ⇒ SO ⊥ AB.
Lại có: SH ⊥ AB;
SO, SH ⊂ (SOH) và SO ∩ SH
⇒ AB ⊥ (SOH).
Lấy điểm O cố định rồi đặt \(\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{b_1};\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{c_1};\overrightarrow{OD_1}=\overrightarrow{d_1}\)
Điều kiện cần và đủ để tứ giác \(A_1B_1C_1D_1\) là hình bình hành là :
\(\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{c_1}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow{d_1}\) (1)
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
<=> Tứ giác ABCD là hình bình hành
a) Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α).
Khi đó H chính là giao điểm của d và (α).
Vectơ (1 ; 1 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên
là vectơ chỉ phương của d.
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: .
Thay tọa độ x ; y ; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có:
3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0).
b) Gọi M'(x ; y ; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM'.
Ta có:
=> x = -3 ;
=> y = 0 ;
=> z = -2.
Vậy M'(-3 ; 0 ;2).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) bằng 2 cách sau:
Cách 1: Áp dụng công thức ta có:
.
Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:
d(M,(α) )= MH = .
⇔ tứ giác ABCD là hình bình hành.