Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c. Chứng minh rằng các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đồng quy và đôi một vuông góc với nhau
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD
Qua K kẻ đường thẳng d // AB, trên d lấy A', B' sao cho K là trung điểm của A'B' và
KA' = IA
* Xét tam giác CKB’ và DKA’ có:
KC= KD ( giả thiết)
KB’= KA’( cách dựng)
( hai góc đối đỉnh )
=> ∆ CKB’ = ∆ DKA’ ( c.g.c)
=> B’C = A’D
*Xét tứ giác IBB’K có IB= KB’ và IB // KB’ ( cách dựng)
=> Tứ giác IBB’K là hình bình hành
=> BB’ // IK (1)
Chứng minh tương tự, ta có: AA’// IK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BB’// IK// AA’ (*)
Lại có:IK ⊥ CK
=> IK ⊥ (CKB') (**)
Từ (*) và (**) suy ra BB' ⊥ (CKB') ; AA' ⊥ (CKB')
⇒ BB' ⊥ B'C; AA' ⊥ A'D
* Xét hai tam giác vuông BCB’ và ADA’ có:
BB’ = AA’ (= IK)
CB’ = A’D (chứng minh trên)
=> ∆ BCB’ = ∆ ADA’ ( cạnh huyền –cạnh góc vuông)
=> BC= AD.
* Chứng minh tương tự, AC = BD
Hai tam giác ABC và BAD bằng nhau ( c.c.c) nên có các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau: CM = DM
Ta có tam giác MCD cân tại M, do đó MN ⊥ CD vì N là trung điểm của CD. Tương tự ta chứng minh được NA = NB và suy ra MN ⊥ AB. Mặt phẳng (CDM) không vuông góc với mặt phẳng (ABN) vì (CDM) chứa MN vuông góc với chỉ một đường thẳng AB thuộc (ABN) mà thôi.
AB ⊥ AC, AB ⊥ AD nên AB ⊥ (AC, AD) hay AB ⊥ (ACD) (theo định lí trang 99)
AB ⊂ (ABC) nên (ABC) ⊥ (ACD) (theo định lí 1 trang 108)
AB ⊂ (ADB) nên (ADB) ⊥ (ACD)
AD ⊥ AC, AD ⊥ AB nên AD ⊥ (AC, AB) hay AD ⊥ (ABC)
AD ⊂ (ADB) nên (ADB) ⊥ (ABC)
Đặt \(AB=CD=c\), \(BC=DA=a\) , \(AC=b\) và \(BD=d\)
Do N là trung điểm cạnh BD nên theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có :
\(AN^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{d^2}{4}\) và \(CN^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{d^2}{4}\)
Suy ra : \(NA^2-NC^2=0=MA^2-MC^2\)
Từ đó theo kết quả bài toán suy ra \(MN\perp AC\)
Lập luận tương tự ta cũng được \(MN\perp BD\)
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì ΔACD = ΔBDC nên các tiếp tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, do đó AJ = BJ. Từ đó suy ra IJ ⊥ AB. Tương tự, IJ ⊥ CD. Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
Làm tương tự đối với các cặp cạnh đối diện khác ta chứng minh được rằng đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là đường vuông góc chung của cặp cạnh đó. Do đó các đường đó đồng quy tại O là trung điểm của mỗi đường.
Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song với CD, (Q) là mặt phẳng qua CD và song song với AB; A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên (Q); C', D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D lên (P). Dễ thấy AC'BD'.A'CB'D là hình hộp chữ nhật. Đường nối hai tâm của mỗi cặp mặt đối diện của hình hộp chữ nhật đó chính là đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. Do đó chúng đôi một vuông góc với nhau.