Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2}\left(1\right)\)
\(u_1=3=\sqrt{9}\)
\(u_2=\sqrt{1+u_1^2}=\sqrt{10}\)
\(u_3=\sqrt{1+u_2^2}=\sqrt{11}\)
...
Dự đoán công thức:\(u_n=\sqrt{n+8}\),\(n\ge1\) (*)
Thật vậy
+)\(n=1,(*)\)\(\Leftrightarrow u_1=3\) (lđ)
+)Giả sử (*) đúng với mọi \(n=k,k>1\)
\((*)\Leftrightarrow u_k=\sqrt{k+8}\)
+)\(n=k+1,\) thay vào (1) có: \(u_{k+2}=\sqrt{1+u^2_{k+1}}=\sqrt{1+\left(\sqrt{1+u_k^2}\right)^2}=\sqrt{2+u^2_k}=\sqrt{2+k+8}=\sqrt{10+k}\)
\(\Rightarrow\)(*) đúng với n=k+1
Vậy CTSHTQ: \(u_n=\sqrt{n+8}\), \(n\ge1\)
Đặt \(\dfrac{u_n}{n+1}=v_n\)
\(GT\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{u_1}{1+1}=1\\v_{n+1}=\dfrac{1}{4}v_n,\forall n\in N\text{*}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{4}^{n-1},\forall n\in N\text{*}\)
\(\Rightarrow u_n=\left(n+1\right).\dfrac{1}{4}^{n-1},\forall n\in N\text{*}\)
Chọn C.
Ta có:
Cộng hai vế ta được un = 1 + 12 + 22 +… + (n -1)2 =