Tìm số nguyên tố p sao cho 4p+3<25 và 4p+3 cũng là số nguyên tố
giúp mik vs,mik đang cần gấp, thanks
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố
2 + 4 = 6 không là số nguyên tố
Vậy p = 2 không thỏa mãn
Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố
3 + 4 = 7 là số nguyên tố
Vậy p = 3 thỏa mãn
Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn
Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố
Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn
Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.
Bài 2:
Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3
p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3
Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3
Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3
Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3
=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.
Dùng phương pháp đánh giá em nhá.
Nếu p = 2 ⇒ 2p - 1 = 4 - 1 = 3 (thỏa mãn)
p = 2 ⇒ 4p - 1 = 8 - 1 = 7 (thỏa mãn)
Nếu p = 3 ⇒ 2p - 1 = 6- 1 = 5 (thỏa mãn)
p = 3 ⇒ 4p - 1 = 12 - 1 = 11 (thỏa mãn)
Nếu p > 3 ⇒ p = 3k + 1 (k \(\) \(\in\) N*)
p = 3k + 1 ⇒ 4p - 1 = 4.(3k + 1) - 1 = 12k - 3 ⋮ 3(loại)
Nếu p = 3k + 2 ⇒ 2p - 1 = 2.(3k + 2) - 1 = 6k - 3 ⋮ 3(loại)
Từ những phân tích trên ta có p = 2; 3
Kết luận: p \(\in\) {2; 3}
Gọi d là ƯCLN(2p + 1; 4p + 1)
⇒ 2p + 1 ⋮ d và 4p + 1 ⋮ d
⇒ 2 x (2p + 1) ⋮ d và 4p + 1 ⋮ d
⇒ 4p + 2 ⋮ d và 4p + 1 ⋮ d
⇒ (4p + 2) - (4p + 1) ⋮ d
⇒ 4p + 2 - 4p - 1 ⋮ d
⇒ 2 - 1 ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Vậy 2p + 1 và 4p + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Dùng phương pháp đánh giá em nhá.
+ Nếu p = 2 ta có: 2p + 1 = 5 (thỏa mãn); 4p + 1 = 9 (loại)
+ Nếu p = 3 ta có: 2p + 1 = 7 (thỏa mãn); 4p + 1 = 13 (thỏa mãn)
+ Nếu p > 3 mà p là số nguyên tố nên p có dạng:
p = 3k + 1; p = 3k + 2 (k \(\in\)N*)
Với p = 3k + 1 ⇒ 2p + 1 = 2.(3k+1) + 1 = 6k+3 ⋮ 3 (loại)
Với p = 3k + 2 ⇒ 4p + 1 = 4.(3k + 2) + 1 = 12k + 9 ⋮ 3(loại)
Từ những phân tích trên ta có: p = 3
Kết luận với p = 3 thì p; 2p + 1; 4p + 1 đồng thời là số nguyên tố.
Xét \(p=2\) thì \(2p+1=5;4p+1=9\) không thỏa mãn.
Xét \(p=3\) thì \(2p+1=7;4p+1=13\), thỏa mãn.
Xét \(p>3\) thì \(p=3q+1;p=3q+2\left(q\inℕ^∗\right)\)
Nếu \(p=3q+1\) thì \(2p+1=2\left(3q+1\right)+1=6q+3⋮3\) . Hơn nữa \(6q+3>3\) nên \(2p+1\) là hợp số, không thỏa mãn.
Nếu \(p=3q+2\) thì \(4p+1=4\left(3q+2\right)+1=12q+9⋮3\) . Lại có \(12q+9>3\) nên \(4p+1\) là hợp số, không thỏa mãn.
Vậy \(p=3\) là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn ycbt.
Lời giải:
Nếu $p\vdots 3$ thì $p=3$. Khi đó $2p+1=7, 4p+1=13$ đều là số nguyên tố (thỏa mãn)
Nếu $p$ chia $3$ dư $1$. Đặt $p=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow 2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ với mọi $p$ nên $2p+1$ không là snt (trái với giả thiết) - loại.
Nếu $p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9=3(4k+3)\vdots 3$. mà $4p+1>3$ với mọi $p$ nên không là snt(trái với giả thiết) - loại.
Vậy $p=3$ là đáp án duy nhất.
b,
Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3
p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3
Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3
Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3
Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3
=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.
4p+3 nhỏ hơn 25 -> 4p nhỏ hơn 22 -> p< 5
Lại có p là số nguyên tố nên p=2, p=3 và p=5