K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
5 tháng 12 2020

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{1+x^2}=a>0\\y+\sqrt{1+y^2}=b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+x^2}=a-x\\\sqrt{1+y^2}=b-y\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x^2=a^2-2ax+x^2\\1+y^2=b^2-2by+y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ax=a^2-1\\2by=b^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{a^2-1}{2a}\\y=\frac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)

Thay vào biểu thức điều kiện đề bài:

\(\left(\frac{a^2-1}{2a}+\sqrt{1+\left(\frac{b^2-1}{2b}\right)^2}\right)\left(\frac{b^2-1}{2b}+\sqrt{1+\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2-1}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b^2+1}{2b}\right)^2}\right)\left(\frac{b^2-1}{2b}+\sqrt{\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2-1}{2a}+\frac{b^2+1}{2b}\right)\left(\frac{b^2-1}{2b}+\frac{a^2+1}{2a}\right)=1\)

Với chú ý rằng: \(1=\frac{4ab}{4ab}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{4ab}\)

\(\Rightarrow\left[\frac{\left(a+b\right)}{2}-\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{2b}\right)\right]\left[\frac{a+b}{2}+\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{2b}\right)\right]=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{4ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(ab\right)^2}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(1-\frac{1}{ab}\right)+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\left(1-\frac{1}{ab}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{1}{ab}\right)\left[\left(a+b\right)^2+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{ab}=0\)

\(\Leftrightarrow ab=1\) (đpcm)

1 tháng 11 2020

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+y+2\sqrt{y}-2\sqrt{xy}+1}{x-2\sqrt{xy}+y-1}\)\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2-2\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+1}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}-1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+1}\)

15 tháng 12 2021

\(ĐK:x,y\in R\)

Từ 2 PT \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{\left(x-5\right)^2+\left(y+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+y^2-2y+2=x^2-10x+y^2+2y+26\\ \Leftrightarrow12x-4y-24=0\\ \Leftrightarrow3x-y-6=0\\ \Leftrightarrow y=3x-6\)

Thay vào \(PT\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(3x-8\right)^2}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(3x-7\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow10x^2-50x+65=10x^2-40x+50\\ \Leftrightarrow10x=15\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow y=-\dfrac{3}{2}\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2019

Lời giải:

Từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)

Đặt \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})=(x,y,z)\), trong đó $a,b,c>0$ thì ta có:

\(ab+bc+ac=1\) và cần phải CMR:

\(P=\frac{\sqrt{(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}}{\frac{1}{bc}}+\frac{\sqrt{(\frac{1}{c^2}+1)(\frac{1}{a^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}{\frac{1}{ac}}+\frac{\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}}{\frac{1}{ab}}\)

-----------------------------------------------

Ta có:
\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}}{\frac{1}{bc}}=\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)}-b\sqrt{c^2+1}-c\sqrt{b^2+1}\)

\(=\sqrt{(b^2+ab+bc+ac)(c^2+ac+bc+ab)}-b\sqrt{c^2+ac+bc+ab}-c\sqrt{b^2+ab+bc+ac}\)

\(=\sqrt{(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)}-b\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(b+a)(b+c)}\)

\(=(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}-b\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(b+a)(b+c)}(1)\)

Tương tự:

\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{c^2}+1)(\frac{1}{a^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}{\frac{1}{ac}}=(a+c)\sqrt{(b+a)(b+c)}-a\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(a+b)(a+c)}(2)\)

\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}}{\frac{1}{ab}}=(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}-b\sqrt{(a+b)(a+c)}-a\sqrt{(b+c)(b+a)}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P=(b+c-c-b)\sqrt{(a+b)(a+c)}+(a+c-c-a)\sqrt{(b+a)(b+c)}+(a+b-b-a)\sqrt{(c+a)(c+b)}\)

\(=0\)

Ta có đpcm.

22 tháng 3 2019

sao dòng 2 đoạn ''ta có...'' lại ra đc như thế ạ?

20 tháng 3 2019

@Akai Haruma, Nguyen, Nguyễn Thị Ngọc Thơsvtkvtm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2019

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

NV
24 tháng 1 2022

\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)

\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)

\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)

a: \(=x-\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y=\sqrt{xy}\)

b: \(=\dfrac{1+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)

NV
13 tháng 12 2020

\(P\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}\right)}\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{4xy+4x+4}\right)}\)

\(P\le\sqrt{\dfrac{3}{4}\sum\left(\dfrac{1}{xy+x+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=1\)