Giả sử x^3+y^3=z^3 chứng minh xyz chia hết cho 7
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
1
14 tháng 12 2016
Chỉ khi x + y + z = 0 mới như vậy.
Cụ thể :
Ta có :
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy^2-3x^2y-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2+z^2-\left(x+y\right)z\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+2xy+z^2-xz-yz-3xy\right]\)
\(=0\) là BS xyz
8 tháng 8 2017
a/ \(C=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
b/ Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)
Vì \(x+y+z⋮6\)
Nên trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số chẵn
\(\Rightarrow3xyz⋮6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)
MA
1
KB
6 tháng 4 2019
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử xyz không chia hết cho 7 thì x, y, z không chia hết cho 7 (vì 7 là số nguyên tố)
Xét số n không chia hết cho 7 thì n có dạng 7k + 1; 7k + 2; 7k + 3; 7k + 4; 7k + 5; 7k + 6
* n = 7k + 1 thì n3 = (7k + 1)3 = BS7 + 1 (chia 7 dư 1)
* n = 7k + 2 thì n3 = (7k + 2)3 = BS7 + 8 (chia 7 dư 1)
* n = 7k + 3 thì n3 = (7k + 3)3 = BS7 + 27 (chia 7 dư 6)
* n = 7k + 4 thì n3 = (7k + 4)3 = BS7 + 64 (chia 7 dư 1)
* n = 7k + 5 thì n3 = (7k + 5)3 = BS7 + 125 (chia 7 dư 6)
* n = 7k + 6 thì n3 = (7k + 6)3 = BS7 + 216 (chia 7 dư 6)
Như vậy, nếu n không chia hết cho 7 thì n3 chia 7 dư 1 hoặc 6
Áp dụng, ta được a3 + b3 chia 7 dư 2; 5 hoặc 0 và c3 chia 7 dư 1 hoặc 6 (điều này vô lí vì theo giả thiết thì x3 + y3 = z3)
Vậy điều giả sử là sai. Vậy xyz chia hết cho 7 (đpcm)