Cho hàm số bậc 4 f(x)=\(ax^4+bx^3+cx^2+dx=e\) (\(a\ne0\). Biết rằng các hệ số a,b,c,d,e là các số nguyên không âm và không lớn hơn 8 và f(9)=32078. Tính tổng các hệ số S=a+b+c+d+e
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2022
Với đa thức hệ số nguyên, xét 2 số nguyên m, n bất kì, ta có:
\(f\left(m\right)-f\left(n\right)=am^3+bm^2+cm+d-an^3-bn^2-cn-d\)
\(=a\left(m^3-n^3\right)+b\left(m^2-n^2\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=a\left(m-n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m-n\right)\left(m+n\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=\left(m-n\right)\left[a\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m+n\right)+c\right]⋮\left(m-n\right)\)
\(\Rightarrow f\left(m\right)-f\left(n\right)⋮m-n\) với mọi m, n nguyên
Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
Theo cmt, ta phải có: \(f\left(7\right)-f\left(3\right)⋮7-3\Leftrightarrow53-35⋮4\Rightarrow18⋮4\) (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai hay không thể đồng thời tồn tại \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
12 tháng 3 2019
f(0) ⋮ 7 => e ⋮ 7
=> g(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx ⋮ 7 ∀ x nguyên
g(1) = a + b + c + d ⋮ 7
g(-1) = a - b + c - d ⋮ 7
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b+c+d\right)+\left(a-b+c-d\right)⋮7\\\left(a+b+c+d\right)-\left(a-b+c-d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(a+c\right)⋮7\\2\left(b+d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)
Mà 2 không chia hết cho 7 => \(\left\{{}\begin{matrix}a+c⋮7\\b+d⋮7\end{matrix}\right.\) (1)
g(2) = 16a + 8b + 4c + 2d ⋮ 7
g(-2) = 16a - 8b + 4c - 2d ⋮ 7
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(16a+8b+4c+2d\right)+\left(16a-8b+4c-2d\right)⋮7\\\left(16a+8b+4c+2d\right)-\left(16a-8b+4c-2d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}8\left(4a+c\right)⋮7\\4\left(4b+d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)
Mà 8 và 4 không chia hết cho 7
=> \(\left\{{}\begin{matrix}4a+c⋮7\\4b+d⋮7\end{matrix}\right.\) (2)
Từ (1) và (2)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(4a+c\right)-\left(a+c\right)⋮7\\\left(4b+d\right)-\left(b+d\right)⋮7\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}3a⋮7\\3b⋮7\end{matrix}\right.\)
Mà 3 không chia hết cho 7 => \(\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+c⋮7\\b+d⋮7\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}c⋮7\\d⋮7\end{matrix}\right.\)
Vậy bài toán đã được chứng minh
ycbt\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9^4a+9^3b+9^2c+9d+e=32078\left(p\right)\\a,b,c,d,e\in N;\le8;a\ne0\end{cases}}\)
VP(p): 9 dư 2 =>e =2
\(\Rightarrow9^3a+9^2b+9c+d=\frac{32078-2}{9}=4564⋮9\Rightarrow d=0\)
\(\Rightarrow9^2a+9b+c=\frac{3564}{9}=396⋮9\Rightarrow c=0\)
\(\Rightarrow9a+b=\frac{396}{9}=44\)chia 9 dư 8 => b=8
=> 9a=36=>a=4
Vậy S =14