Cho m,n là các số tự nhiên dương thỏa mãn: \(\sqrt{6}-\frac{m}{n}>0\). CMR: \(\sqrt{6}-\frac{m}{n}>\frac{1}{2mn}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 10 2019
Đặt \(d=\left(m,n\right)\)
Ta có :\(\hept{\begin{cases}m=ad\\n=bd\end{cases}}\)với \(\left(a,b\right)=1\)
Lúc đó
\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{ad+1}{bd}+\frac{bd+1}{ad}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+a+b}{abd}\)là số nguyên
Suy ra \(a+b⋮d\Rightarrow d\le a+b\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)
Vậy \(\left(m,n\right)\le\sqrt{m+n}\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2020
\(VT=\frac{4}{2.2\sqrt{a+b}}+\frac{4}{2.2\sqrt{b+c}}+\frac{4}{2.2\sqrt{c+a}}\)
\(VT\ge\frac{4}{a+b+4}+\frac{4}{b+c+4}+\frac{4}{c+a+4}\)
\(VT\ge\frac{36}{a+b+4+b+c+4+c+a+4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
![\"leu\"](\"https://hoc24.vn/media/cke24/plugins/smiley/images/leu.png\" "\\"leu\\"")
16 tháng 9 2017
\(\sqrt{3}>\frac{m}{n}\Rightarrow3>\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow3n^2>m^2\Rightarrow3n^2\ge m^2+1\)
với 3n2=m2+1=>m2+1 chia hết cho 3
=>m2 chia 3 dư 2(vô lí)
\(\Rightarrow3n^2\ge m^2+2\)
lại có:\(\left(m+\frac{1}{2m}\right)^2=m^2+1+\frac{1}{4m^2}< m^2+2\)
\(\Rightarrow\left(m+\frac{1}{2m}\right)^2< 3n^2\Rightarrow m+\frac{1}{2m}< \sqrt{3}n\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}+\frac{1}{2mn}< \sqrt{3}\left(Q.E.D\right)\)
17 tháng 1 2017
\(\Sigma\frac{b+1}{8-\sqrt{a}}\le\Sigma\frac{2\left(b+1\right)}{15-a}=\Sigma\frac{2\left(a+2b+c\right)}{4a+5b+5c}\)(AM-gm)
Đặt \(\left\{\begin{matrix}x=4a+5b+5c\\y=4b+5a+5c\\z=4c+5a+5b\end{matrix}\right.\)suy ra...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1 2017
Mình đã giải tại đây https://hoc24.vn/hoi-dap/question/169464.html
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 5 2020
Số dương thì sao \(a+b+c=0\) được? Chắc là \(a+b+c=1\) mới đúng
Khi đó:
\(VT=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\frac{2a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{2b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{2c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)
\(VT\ge\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" không xảy ra nên:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
Ta có: \(\sqrt{6}-\frac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{6}n-m>0\Leftrightarrow6n^2>m^2\Leftrightarrow6n^2\ge m^2+1\) (Do m, n là các số tự nhiên).
Mặt khác \(m^2+1\equiv1;2\left(mod3\right)\Rightarrow m^2+1⋮̸3\).
Mà \(6n^2⋮3\) nên \(6n^2\ge m^2+1\).
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\sqrt{6}n>\frac{1}{2m}+m\Leftrightarrow6n^2>\left(\frac{1}{2m}+m\right)^2\).
Ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(\frac{1}{2m}+m\right)^2< m^2+2\Leftrightarrow\frac{1}{4m^2}< 1\Leftrightarrow4m^2>1\) (luôn đúng với mọi m \(\in\) N*).
Vậy ta có đpcm.
Dòng thứ 4 là \(6n^2\ge m^2+2\) chứ không phải là \(6n^2\ge m^2+1\). Mình ghi nhầm :(