Bài này ez lém . Ai nhanh nhất mk tick cho !! ( Đang rảnh háng )
Cho a + b + c= 0 . CMR : ab + bc + ca \(\le\)0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KT
22 tháng 3 2018
Xét hiệu: \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)\(=0\) (do a+b+c = 0)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3=3abc\) (đpcm)
1 tháng 3 2018
Áp dụng AM-GM:
\(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{0}{3}=0\)
KA
1
5 tháng 11 2017
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge0\) .Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=0\)
Suy ra \(ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\le-\dfrac{0}{2}=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\)
S
5
S
3
23 tháng 2 2018
Xin lỗi xíu nha cái chỗ suy ra 2ab+2bc+2ac >/= 0 bị đánh lộn dấu đổi lại thành ab=bc+ca</=0 hộ nhé
18 tháng 4 2017
em dùng tính chất tổng quát này nè \(x^2\ge0\)với mọi x
như vậy ta có a+b+c=0\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow a^{2^{ }}+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)mà ta luôn có \(a^2\ge0\)với mọi a;\(b^2\ge0\)với mọi b;\(c^2\ge0\)nên suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge0\forall a,b,c\)mà \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\Rightarrow2ab+2bc+2ca\ge0\)\(\Rightarrow\)ab+bc+ca\(\ge\)0.dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0
BH
1
28 tháng 5 2019
bạn tham khảo nhé : https://olm.vn/hoi-dap/detail/222370673956.html
BH
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}\)
1
28 tháng 5 2019
Ta có : a + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + c ) ( a + b )
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{a\left(a+b+c\right)-bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b\left(a+b+c\right)-ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c\left(a+b+c\right)-ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\left(a^2+ab+ac-bc\right)\left(b+c\right)+\left(ab+b^2+bc-ac\right)\left(a+c\right)+\left(ac+bc+c^2-ab\right)\left(a+b\right)\le\frac{3}{2}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
khai triển ra , ta được :
\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+6abc\le\frac{3}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)+3abc\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)\le-3abc\)
\(\Rightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge6abc\)( nhân với -2 thì đổi dấu )
\(\Rightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT lúc đầu đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có BĐT sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
CM: \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (*)
=> BĐT (*) LUÔN ĐÚNG !!!!
=> \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)
=> \(3\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
=> \(ab+bc+ca\le0\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+ca\right)=0\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le0\left(đpcm\right)\)