chứng minh rằng nếu tích 3 số dương bằng 1 còn tổng số đó lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì trong 3 số đó có một số lớn hơn 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 3 2019
\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)
\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)
Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)
PN
11 tháng 12 2017
Xét phân số dương \(\dfrac{a}{b}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>0,b>0,a\ge b\).
Khi đó \(a=b+m\left(m\ge0\right)\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{b}{b+m}+\dfrac{m}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\). Dấu "=" xảy ra khi a = b (m = 0)
11 tháng 12 2017
Gọi một phân số dương bất kì là \(\dfrac{a}{b}\)(a; b > 0) thì phân số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)
+ Nếu a > b thì a2 + b2 > 2b2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a < b thì a2 + b2 > 2a2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a = b thì a2 + b2 = 2a2 = 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\)
Vậy tổng 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó \(\ge\) 2
+ Nếu a = b thì a2
TT
26 tháng 3 2016
a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)
Theo bài ra, ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì (a-b)2 chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
Gọi 3 số đó là a;b;c. Do vai trò của a;b;c là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
Từ giả thiết ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}abc=1\\a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) a;b;c không thể đồng thời bằng 1 (vi phạm giả thiết thứ 2)
Nếu a;b;c đều nhỏ hơn 1 \(\Rightarrow abc< 1\) (trái giả thiết)
Nếu a;b;c đều lớn hơn 1 \(\Rightarrow abc>1\) (trái giả thiết)
\(\Rightarrow\) Chỉ có 1 hoặc 2 số trong 3 số lớn hơn 1
Giả sử có 2 số lớn hơn 1 \(\Rightarrow a;b>1\)
Từ giả thiết thứ 2: \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{ab}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab\)
\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{ab}>\frac{a+b}{ab}+ab\)
\(\Leftrightarrow a+b-\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{ab}-ab>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{ab-1}{ab}\right)-\frac{\left(ab-1\right)\left(ab+1\right)}{ab}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(\frac{a+b}{ab}-\frac{ab+1}{ab}\right)>0\)
\(\Leftrightarrow a+b-ab-1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)>0\) (vô lý do \(\left\{{}\begin{matrix}a>1\\b>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)< 0\))
Vậy điều giả sử là sai
Hay trong 3 số có đúng 1 số lớn hơn 1
mình cảm ơn