Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi a/b với a > 0, b > 0 là phân số đã cho và b/a là phân số nghịch đảo của nó . Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.
Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)
Ta có:
Và 
(dấu "=" xảy ra khi m = 0)
Suy ra: 
Từ (1) và (2) suy ra:
, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )
Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là: \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)
Do phân số dương nên( a;b) cùng dấu hay a.b>0
Ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Gọi phân số dương là \(\dfrac{a}{b}\) . ( Không mất tính tổng quát )
Cho \(a>0,\) \(b>0\) và \(a\ge b\) . Ta có thể viết \(a=b+m\left(m\ge0\right)\) .
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}\ge1+\dfrac{m}{b+m}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=2\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b\left(m=0\right)\)
(dấu "=" xảy ra khi m = 0)
, (dấu "=" xảy ra khi m = 0 hay a = b )
nói thật thì đó là toán lớp 8, lớp 9 chứ k phải lớp 6
gọi phân số đó là a/b, vì phân số dương => a.b dương. Ta phải đi chứng minh a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}+2=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)}{ab}+2\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge2\)(vì (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 và ab>0 => phân số đầu tiên không âm, suy ra tổng không nhỏ hơn 2)
Ai chs opoke đại chiên lh mik nha! Đỏi lấy nick olm hoặc cho mik
Giả sử phân số và nghịch đảo của nó là \(\frac{a}{b};\frac{b}{a}\)
Do phân số dương nên \(a;b\)cùng dấu hay \(a.b>0\)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Ta gọi phân số đó là \(\frac{a}{b}\) ,vì phân số dương\(\Rightarrow a.b=\)dương .
Ta chúng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}+2=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)+2}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge2\)
Vì :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\) và \(ab>0\)
\(\Rightarrow\)Phân số không âm .
\(\Rightarrow\)Tổng không bé hơn 2
a. Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\) Phân số nghịch đảo là \(\frac{b}{a}\)
Theo bài ra, ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)+b\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì (a-b)2 chắc chắn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Vậy tổng của một phân số dương với ghịch đảo của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 2.
Xét phân số dương \(\dfrac{a}{b}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>0,b>0,a\ge b\).
Khi đó \(a=b+m\left(m\ge0\right)\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{b}{b+m}+\dfrac{m}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\). Dấu "=" xảy ra khi a = b (m = 0)
Gọi một phân số dương bất kì là \(\dfrac{a}{b}\)(a; b > 0) thì phân số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)
+ Nếu a > b thì a2 + b2 > 2b2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a < b thì a2 + b2 > 2a2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a = b thì a2 + b2 = 2a2 = 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\)
Vậy tổng 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó \(\ge\) 2
+ Nếu a = b thì a2