Cho tam giác cân ABC (AB=AC, góc A < 90 độ), đường cao BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của đoạn BC, BM và BD. Tia NI cắt cạnh AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp
b) BC^2 =4/3 AC x CK
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) Do tam giác ABC cân tại A, có AM là trung tuyến nên đồng thời là đường cao, hay \(\widehat{AMB}=90^o\)
Hai tam giác vuông ADB và AMB có chung cạnh huyền AB nên tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
+) Xét tam giác BMD có N và I lần lượt là trung điểm của BM và BD nên NI là đường trung bình của tam giác. Vậy nên NI // MD. Suy ra \(\widehat{KNC}=\widehat{DMC}\) (Hai góc đồng vị)
Mà do tứ giác ABMD nội tiếp nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DMC}\) nên \(\widehat{KNC}=\widehat{DAB}\)
Vậy thì tứ giác ABNK nội tiếp.
+) Xét tam giác CKN có MD // NK nên áp dụng định lý Ta let ta có:
\(\frac{DC}{CK}=\frac{MC}{CN}=\frac{2}{3}\)
Xét tam giác MDC và ABC có: góc C chung, \(\widehat{CAB}=\widehat{CMD}\) nên \(\Delta ABC\sim\Delta MDC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{DC}{BC}=\frac{MC}{AC}\Rightarrow DC.AC=BC.MC\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}AC.CK=\frac{1}{2}BC^2\Rightarrow4AC.CK=3BC^2\)
xét tam giác ABC cân tại A
có AM là trung tuyến
=> AM là đg cao
ta có góc AMB =90 độ
ADB=90 độ(BD vg góc AC)
=>Tứ giác ABMD nội tiếp
xét tam giác BDM có N,I lần lượt là trg điểm MB,BD
=> NI là đtb tam giác BMD
=>IN//DM=> góc INM= DMC
=> góc DMC =BAK
ta có gócINM=BAK cùng= DMC
=> tứ giác ABNK nội tiếp
b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung
góc CNK= BAC(cmt)
=> 2 tam giác CNK, CAB đồng dạng(g.g)
=> CK/cb= CN/AC
=> AC.CK=BC.CN
mà CN=MN+MC= BC/4+BC/2=3BC/4
nên AC.CK=3.BC^2/4=> BC^2= 4/3AC.CK
a) xét tam giác ABC cân tại A
AM là đường trung tuyến => AM là đường cao
ta có : AMB = 90 độ
ADB = 90 độ ( BD vuông góc với AC)
=> tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn
xét tam giác BDM có lần lượt N, I là trung điểm của MB và BD
=> NI là đường trung bình của tam giác BDM
=> IN//DM
=> +INM = DMC
+ DMC = BAK
=> INM = BAK
=> tứ giác nội tiếp.
b) xét tam giác CNK, CAB có NCK chung
góc CNK = BAC
=> tam giác CNK đồng dạng với tam giác CAB
=> CK/CB=CN/AC
=> AC.CK=BC.CN
mà CN = MN+MC= BC/4 + BC/2=3BC/4
nên AC.CK=3BC^2/4=> BC2=34CA.CK
a: Xét (O) có
góc BEC, góc BDC đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
=>góc BEC=góc BDC=90 độ
=>CE vuông góc AB, BD vuông góc AC
Xét ΔABC có
CE,BD là đường cao
CE cắt BD tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC tại F
góc BEH+góc BFH=180 độ
=>BEHF nội tiếp
b: Xét ΔHCB có CO/CB=CM/CH
nên OM//BH
=>góc COM=góc CBH
=>góc COM=góc FEC
=>góc MOF+góc FEM=180 độ
=>OMEF nội tiếp
a) Xét △ABM vuông tại A và △DBM vuông tại D có:
BM chung
AB=DB=3cm(gt)
=> △ABM=△DBM (cạnh huyền-cạnh góc vuông) => AM=DM(2 cạnh t/ứ)
b) Xét △AMN và △DMC có:
AMN=DMC(2 góc đối đỉnh)
AM=DM(cmt)
MAN=MDC(gt)
=> △AMN=△DMC(g.c.g) => MN=MC(2 cạnh tướng ứng) => △MCN cân tại M
c) Vì △AMN=△DMC(cmt) => AN=DC(2 cạnh tương ứng)
Ta có AB=BD;AN=DC;BN=AN+AB;BC=BD+DC => BN=BC=> △BNC cân tại B
Vì △ABM=△DBM(cmt)=> ABM=DBM=> NBK=CBK (A thuộc BN; D thuộc BC;M thuộc BK) => BK là phân giác NBC
=> Trong △BNC cân tại B, BK là đường phân giác, đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao,... (t/c) => BK là đường trung trực của CN
d) Áp dụng định lý Pytago vào △ABC vuông tại A có: AB2+AC2=BC^2
=> 9+16=25=BC^2 (cm) => BC = 5 cm
Ta có BD+DC=BC;BD=3cm=> DC=2cm
Ta có AN=DC(cmt) => AN=2cm
Áp dụng định lý Pytago vào △ANC vuông tại A có:
AN^2+AC^2=NC^2
=> 4+16=NC^2
=> NC= căn 20 = 2 x căn 5 (cm)
Vì BK là trung trực NC => K là trung điểm NC => KC = 1/2 NC = căn 5 (cm)
Áp dụng định lý Pytago vào △BKC vuông tại K có:
BC^2=BK^2+KC^2 => BK^2=BC^2+KC^2=25-5=20cm => BK=căn 20=2 nhânnhân căn 5 (cm)
a: góc ADB=1/2*180=90 độ
góc EDF+góc EHF=180 độ
=>EDFH nội tiếp
b: gócBAE+góc CAE=90 độ
góc BEA+góc HAE=90 độ
mà góc CAE=góc HAE
nên góc BEA=góc BAE
=>ΔBAE cân tại B
a, áp dụng định lí py-ta-go ta có:
\(BC^2\)=\(AB^2+AC^2\)
=> \(AC^2=BC^2-AB^2\)
=> \(AC^2=100-36\)
=> \(AC^2=64\)cm => AC=8 cm
vậy AC=8 cm
vì BC>AC>AB(10cm>8cm>6cm)
=> \(\widehat{A}\)>\(\widehat{B}\)>\(\widehat{C}\)(góc đối diện vs cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) đpcm
b, Xét 2 t.giác vuông BCA và DCA có:
AB=AD(gt)
AC cạnh chung
=> \(\Delta\)BCA=\(\Delta\)DCA(cạnh góc vuông-cạnh góc vuông)
=> BC=DC(2 cạnh tương ứng)
=>t.giác BCD cân tại C (đpcm)
c, xét t.giác BCD : A là trung điểm BD, K là trung điểm của BC, AC và DK cắt nhau tại M
=> M là trọng tâm của \(\Delta\)BCD => MC=\(\frac{2}{3}\)AC(tính chất 3 đường trung tuyến)
=> MC=\(\frac{2}{3}\).8\(\approx\)5,3 cm
vậy MC\(\approx\)5,3 cm