Chứng minh dãy số (un) với \(u_n=\sqrt{n^2+2}-n\) là dãy số giảm và bị chặn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BC
1
4 tháng 12 2023
\(u_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2-3}\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2-1,5}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n^2-1,5+2,5}{n^2-1,5}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2.5}{n^2-1,5}\right)< \dfrac{1}{2}\)
=>(Un) là dãy số bị chặn
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
Ta có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2} + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{n^2} + 2}}} \right) < \frac{1}{2}\).
Ta lại có: \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} > 0\]
Do đó \(0 < {u_n} < \frac{1}{2}\).
Vì vậy dãy số (un) bị chặn.
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Chọn A.
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
5 tháng 12 2023
\(u_{n+1}-u_n\)
\(=\sqrt{u_n+2}-u_n\)
\(=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{-\left(u_n-2\right)\left(u_n+1\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}\)
\(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\)
=>\(u_{n+1}^2=u_n+2\)
=>\(u_{n+1}^2-4=u_n-2\)
=>\(\left(u_{n+1}-2\right)\left(u_{n+1}+2\right)=u_n-2\)
Để \(u_n< 2\) thì \(u_n-2< 0\)
=>\(u_{n+1}-2< 0\)
=>\(u_n< 2\forall n>=1\)
=>\(u_{n+1}-u_n>0\)
=>Đây là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2
BC
0
29 tháng 10 2023
\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)
=>Hàm số bị chặn trên tại \(u_n=1\)
\(n+1>=1\)
=>\(\dfrac{1}{n+1}< =1\)
=>\(-\dfrac{1}{n+1}>=-1\)
=>\(1-\dfrac{1}{n+1}>=-1+1=0\)
=>Hàm số bị chặn dưới tại 0
\(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)
\(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}:\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}< 1\)
=>(un) là dãy số tăng
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
a) Ta có: \(n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;\)
Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 0.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
c) Ta có:
\( - 1 < \sin n < 1\)
\( \Rightarrow - 1 < {u_n} < 1,\forall n \in {N^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
d) Ta có:
Nếu n chẵn, \({u_n} = - {n^2} < 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Nếu n lẻ, \({u_n} = {n^2} > 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn dưới
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} - 2n \ge - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow - 2n + 1 \ge - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn dưới
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn
+) \(U_n=\sqrt{n^2+2}-n=\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}\)
\(U_{n+1}=\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}-\left(n+1\right)=\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)
Vì \(\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}>\frac{2}{\sqrt{\left(n+1\right)^2+2}+n+1}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n>U_{n+1}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n\) là dãy giảm.
+) Ta có: \(\sqrt{n^2+2}-n\le\sqrt{\left(n+\sqrt{2}\right)^2}-n=\sqrt{2}\)với mọi số tự nhiên n
=> \(U_n\) là dãy bị chặn