Question

[phạm thị ngọc thanh]

Cho (O) đường kính AB, C nằm trên đoạn OB sao cho OC < CB. Kẻ dây DE ⊥ với AC tại trung điểm H của AC, đường tròn đường kính BC cắt BD tại K

a) C/m : tứ giác DHCK nội tiếp đường tròn

b) C/m : tứ giác ADCE là hình thoi và C/m : 3 điểm E, C, K thẳng hàng

c) C/m : CK.AD = CB.CH

d) Đường thẳng qua K ⊥ DE cắt (O) tại 2 điểm M, N (M ϵ cung nhỏ AD). Kẻ đường kính MP, NP cắt AB tại I. C/m : EM² + DN² = AB²

Answer 1

[Kim So Hyun]

Gọi I là tâm đường tròn đường kính CB

a) Xét (O) có: \(\widehat{ADB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AD\perp DB\)

Xét (I) có: \(\widehat{CKB}\) \(=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow CK\perp KB\) hay \(CK\perp DB\)

Ta có: \(\widehat{DKC}+\widehat{CKB}\) \(=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{DKC}\) \(=180^0-\) \(\widehat{CKB}\) \(=180^0-90^0=90^0\)

Vì \(\widehat{ADB}+\widehat{DKC}\) \(=90^0+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác DKCH nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)

b) Vì H là trung điểm AC

\(\Rightarrow AH=HC\)

Xét (O) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=2R\\DE\perp AB=\left\{H\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow DH=HE\) (liên hệ giữa đường kính và dây)

Xét tứ giác ADCE có: \(\left\{{}\begin{matrix}DH=HE\\AH=HC\\DE\cap AC=\left\{H\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ADCE là hình bình hành (theo dhnb hình bình hành)

(mà \(DE\perp AC=\left\{H\right\}\))

\(\Rightarrow\) Hình bình hành ADCE là hình thoi (theo dhnb hình thoi)

\(\Rightarrow\) AD//EC (1)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp DB\\CK\perp DB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) AD//CK (từ vuông góc đến song song) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) AD//EC//CK

\(\Rightarrow\) E,C,K thẳng hàng.

c) Vì \(DE\perp AC=\left\{H\right\}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DHA}\) \(=90^0\)

Vì AD//EC \(\Rightarrow\) \(\widehat{ACE}=\widehat{DAC}\) hay \(\widehat{DAH}=\widehat{HCE}\)

(mà \(\widehat{HCE}=\widehat{KCB}\) vì hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAH}=\widehat{KCB}\)

Xét ΔADH∼ΔCBK vì:

\(\widehat{DHA}=\widehat{CKB}\) \(=90^0\)

\(\widehat{DAH}=\widehat{KCB}\) (cmtrn)

\(\Rightarrow\frac{AD}{CB}=\frac{AH}{CK}\Leftrightarrow AD\cdot CK=AH\cdot CB\) (mà \(AH=HC\))

\(\Leftrightarrow AD\cdot CK=HC\cdot CB\) (đpcm)