Question

[Nguyễn Hà Mi]

Cho a+b+c+ab+ac+bc=6 và a,b,c > 0

Tìm GTNN của biểu thức P= a^3/b + b^3/c + c^3/a 

Các bạn cố gắng giúp mình với! Mình cảm ơn!

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :

\(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow6=a+b+c+ab+bc+ac\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\)

Đặt \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\)

\(\Rightarrow t+\frac{t^2}{3}\ge6\Leftrightarrow3t+t^2-18\ge0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+6\right)\ge0\)

\(\Rightarrow t-3\ge0\Rightarrow t\ge3\)( vì t + 6 > 0 )

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\ge3\)

Vậy GTNN của P là 3 khi a = b = c = 1