K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
13 tháng 5 2020

\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)

Ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)

Thật vậy:

\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

Cộng vế với vế:

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\)

16 tháng 2 2021

giúp với 

22 tháng 6 2021

vì \(a+b+c=1\)

\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)

\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)

ta có pt:

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)

áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P 

\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)

\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

<=>ĐPCM

20 tháng 7 2019

Em chỉ giải ra được 1 TH dấu bằng thôi: a = b = c (còn trường hợp a = b; c=0 và các hoán vị thì em chịu, vì khi xét dấu = trong bđt thì em chỉ xảy ra 1 th)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel;

\(VT\ge\frac{16}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{16}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\frac{12}{\left(a+b+c\right)^2}\) (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

20 tháng 7 2019

hay là có khi nào em xét dấu đẳng thức sai ko nhỉ? :))

22 tháng 4 2021

bài hơi khoai

22 tháng 4 2021

Không mất tính tổng quát giả sử \(c=max\left\{a,b,c\right\}\)

\(\Rightarrow2c\ge a+b\)

\(\Rightarrow c\ge\frac{a+b}{2}\)

Từ giả thiết \(\Rightarrow a,b\le1\)

\(\Rightarrow ab\le1\)( *)

Đặt \(P=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{5}{2}\)

\(=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+\frac{1-ab}{a+b}}+\frac{1}{a+\frac{1-ab}{a+b}}-\frac{5}{2}\)

Đặt \(S=\frac{1}{a+b+\frac{1}{a+b}}+a+b+\frac{1}{a+b}-\frac{5}{2}\)

Xét hiệu \(P-S=\)\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+\frac{1-ab}{a+b}}+\frac{1}{a+\frac{1-ab}{a+b}}-\frac{5}{2}-\)\(-\frac{1}{a+b+\frac{1}{a+b}}-a-b-\frac{1}{a+b}+\frac{5}{2}\)

\(=\frac{1}{\frac{ab+b^2+1-ab}{a+b}}+\frac{1}{\frac{a^2+ab+1-ab}{a+b}}-\frac{1}{\frac{\left(a+\right)^2+1}{a+b}}-\left(a+b\right)\)

\(=\frac{a+b}{b^2+1}+\frac{a+b}{c^2+1}-\left(a+b\right)\left[1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\right]\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{a+b}{b^2+1}+\frac{a+b}{c^2+1}-\left(a+b\right)\left[1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{b^2+1}+\frac{a+b}{c^2+1}\ge\left(a+b\right)\left[1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\right]\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge1+\frac{1}{1+\left(a+b\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2+\left(a+b\right)^2}{1+\left(a+b\right)^2}\)

\(\Rightarrow\left(2+b^2+a^2\right)\left[1+\left(a+b\right)^2\right]\ge\left[2+\left(a+b\right)^2\right]\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)+a^2+b^2\ge\left[2+\left(a+b\right)^2\right]\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)+a^2+b^2-2a^2b^2-\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)^2a^2b^2\)\(-2-2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2a^2b^2-\left(a+b\right)^2a^2b^2+a^2+b^2-\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left[ab\left(a+b\right)^2+2ab-2\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)^2+2ab-2\le0\)( do a,b \(\ge0\))

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)^2\le2\left(1-ab\right)\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)^2\le2c\left(a+b\right)\) (1)

Mà \(c\ge\frac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow2c\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge ab\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(1-ab\right)\ge0\)( đúng do (*) ) 

\(\Rightarrow\left(1\right)\)đúng

\(\Rightarrow P-S\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge S\)

Ta phải chứng minh \(S\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b+\frac{1}{a+b}}+a+b+\frac{1}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{1+\left(a+b\right)^2}+\frac{1+\left(a+b\right)^2}{a+b}\ge\frac{5}{2}\) (2) 

Đặt \(x=\frac{1+\left(a+b\right)^2}{a+b}\)

Ta có: \(1+\left(a+b\right)^2\ge2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-1\right)^2\ge0\)( đúng )

\(\Rightarrow x=\frac{1+\left(a+b\right)^2}{a+b}\ge2\)

=> (2) có dạng \(x+\frac{1}{x}\ge\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5x+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)( đúng )

\(\Rightarrow S\ge0\)mà \(P\ge S\)

\(\Rightarrow P\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=1\\ab+bc+ca=1\\ab\left[ab\left(a+b\right)^2+2ab-2\right]=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c=1;b=0\\b=c=1;a=0\end{cases}}\)