Câu 1: Gọi nguyên hàm của hàm số $\int\frac{sin\left(x\right)}{sin\left(x\right) cos\left(x\right)}dx$ có dạng $ax bln\left|sin\left(x\right) cos\left(x\right)\right| C$ (a,b là các số hữu tỉ) và...

TC

Tô Cường

9 tháng 2 2020

Câu 1: Gọi nguyên hàm của hàm số $\int\frac{sin\left(x\right)}{sin\left(x\right)+cos\left(x\right)}dx$ có dạng $ax+bln\left|sin\left(x\right)+cos\left(x\right)\right|+C$ (a,b là các số hữu tỉ) và nguyên hàm của hàm số $\int cos^2\left(x\right)dx$ có dạng $cx+\frac{1}{2d}sin\left(dx\right)+C$ ( c,d là các số hữu tỉ) . Khi này tính $I=2a-2b+2c+d$ bằng a) 4 b) 5 c) $\frac{3}{2}$ d) $\frac{25}{4}$ Câu 2. Cho hàm số...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 2 2020

Câu 1:

$\int\frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int\frac{sinx+cosx+sinx-cosx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx$

$=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\int\frac{d\left(sinx+cosx\right)}{sinx+cosx}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}ln\left|sinx+cosx\right|+C$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

$\int cos^2xdx=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x\right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+C$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{1}{2}\\d=2\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow I=5$

Đúng(0)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 2 2020

Câu 2:

$I=\int\left(sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right)dx=\int sin\left(lnx\right)dx-\int cos\left(lnx\right)dx=I_1-I_2$

Xét $I_2=\int cos\left(lnx\right)dx$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=cos\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{1}{x}sin\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I_2=x.cos\left(lnx\right)+\int sin\left(lnx\right)dx=x.cos\left(lnx\right)+I_1$

$\Rightarrow I=I_1-\left(x.cos\left(lnx\right)+I_1\right)=-x.cos\left(lnx\right)+C$

b/ $I=\int\limits sin\left(lnx\right)dx$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=sin\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{x}cos\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=x.sin\left(lnx\right)-\int cos\left(lnx\right)dx$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=cos\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{1}{x}sin\left(lnx\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=x\left[sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right]-I$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}x\left[sin\left(lnx\right)-cos\left(lnx\right)\right]|^{e^{\pi}}_1=\frac{1}{2}\left(e^{\pi}+1\right)$

$\Rightarrow a=2;b=\pi;c=1$

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Tính các nguyên hàm sau đây :

a) $\int\left(x+\ln x\right)x^2dx$

b) $\int\left(x+\sin^2x\right)\sin xdx$

c) $\int\left(x+e^x\right)e^{2x}dx$

d) $\int\left(x+\sin x\right)\dfrac{dx}{\cos^2x}$

e) $\int\dfrac{e^x\cos x+\left(e^x+1\right)\sin x}{e^x\sin x}dx$

#Toán lớp 12

5

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

a) $\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}$

$=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C$ (*)

Để tính: $\int x^2\ln x\text{dx}$ ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.$

Suy ra:

$\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}$

$=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3$

Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:

(*) $=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C$

$=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C$

Đúng(0)

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

b) Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.$

Ta có:

$\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}$

$=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}$

$=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)$

$=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C$

Đúng(0)

TA

Thiên An

23 tháng 1 2016

Tìm họ nguyên hàm của hàm số lượng giác sau :

$f\left(x\right)=\int\frac{4\sin x+3\cos x}{\sin x+2\cos x}dx$

#Mẫu giáo

2

NM

Nguyễn Minh Hằng

23 tháng 1 2016

Biến đổi :

$4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x$

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :

$\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}$$\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}$

Khi đó $f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}$

Do đó,

$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C$

Đúng(0)

PP

Phạm Phương Anh

23 tháng 1 2016

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Tính các nguyên hàm sau : a) $\int x\left(3-x\right)^5dx$ b) $\int\left(2^x-3^x\right)^2dx$ c) $\int x\sqrt{2-5x}dx$ d) $\int\dfrac{\ln\left(\cos x\right)}{\cos^2x}dx$ e) $\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx$ $\int\dfrac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx$ h) $\int\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx$ i) $\int\sin3x\cos2xdx$ k) $\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}dx$ l) $\int\dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}dx$ (\(a^2\ne...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

0

SG

Sách Giáo Khoa

4 tháng 4 2017

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x :

a) $y=\sin^6x+\cos^6x+3\sin^2x.\cos^2x$

b) $y=\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3x}-x\right)+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3x}+x\right)-2\sin^2x$

#Toán lớp 11

1

HA

Hà An

4 tháng 4 2017

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin⁵x.cosx - 6cos⁵x.sinx + 6sinx.cos³x - 6sin³x.cosx = 6sin³x.cosx(sin²x - 1) + 6sinx.cos³x(1 - cos²x) = - 6sin³x.cos³x + 6sin³x.cos³x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2:

y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x(sin²x + cos²x) = sin⁶x + 3sin⁴x.cos²x + 3sin²x.cos⁴x + cos⁶x = (sin²x + cos²x)³ = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos²u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ - sin $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ ] + [sin $\left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right )$ - sin $\left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )$ ] - 2sin2x = 2cos $\frac{2\pi }{3}$ .sin(-2x) + 2cos $\frac{4\pi }{3}$ .sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos $\frac{2\pi }{3}$ = cos $\frac{4\pi }{3}$ = $-\frac{1}{2}$ .

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

cos² $\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$ = cos² $\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )$ '

cos² $\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )$ = cos² $\left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )$ .

Do đó

y = 2 cos² $\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$ + 2cos² $\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )$ - 2sin²x = 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ + 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ - (1 - cos2x) = 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ + cos $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ + cos2x = 1 + 2cos $\frac{2\pi }{3}$ .cos(-2x) + cos2x = 1 + 2 $\left ( \frac{-1}{2} \right )$ cos2x + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

1 tháng 4 2017

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :

a) $\int x\ln\left(1+x\right)dx$

b) $\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx$

c) $\int x\sin\left(2x+1\right)dx$

d) $\int\left(1-x\right)\cos xdx$

#Toán lớp 12

1

LN

Linh Nguyễn

1 tháng 4 2017

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt u= ln(1+x)

dv= xdx

=> $du=\frac{1}{1+x}dx$ , $v=\frac{x^{2}-1}{2}$

Ta có: ∫xln(1+x)dx = $\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)$

= $\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C$

b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:

Đặt u= (x²+2x -1) và dv=e^xdx

Suy ra du = (2x+2)dx, v = e^x

. Khi đó:

∫(x²+2x - 1)e^xdx = (x²+2x - 1)e^xdx - ∫(2x+2)e^xdx

Đặt : u=2x+2; dv=e^xdx

=> du = 2dx ;v=e^x

Khi đó:∫(2x+2)e^xdx = (2x+2)e^x - 2∫e^xdx = e^x(2x+2) – 2e^x+C

Vậy

∫(x²+2x+1)e^xdx = e^x(x²-1) + C

Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x²-1)e^xdx. Đặt u = x²-1 và dv=e^xdx.

Đáp số : e^x(x²-1) + C

c) Đáp số: $-\frac{x}{2}cos (2x+1)+ \frac{1}{4}sin(2x+1)+C$

HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx

d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.

HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số : $f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+\sin x}?$ a) $F\left(x\right)=1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)$ b) $G\left(x\right)=2\tan\dfrac{x}{2}$ c) \(H\left(x\right)=\ln\left(1+\sin...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

1

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

Để kiểm tra một hàm F(x) có phải là một nguyên hàm của f(x) không thì ta chỉ cần kiểm tra F'(x) có bằng f(x) không?

a) $F\left(x\right)$ là hằng số nên $F'\left(x\right)=0\ne f\left(x\right)$

b) $G'\left(x\right)=2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x$

c) $H'\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$

d) $K'\left(x\right)=-2.\dfrac{-\left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}\right)}{\left(1+\tan\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}}{\left(\dfrac{\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}}\right)^2}$

$=\dfrac{1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{1+2\cos\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{x}{2}}$

$=\dfrac{1}{1+\sin x}$

Vậy hàm số K(x) là một nguyên hàm của f(x).

Đúng(0)

V

vvvvvvvv

26 tháng 9 2021

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) $y=f\left(x\right)=\dfrac{4}{\sqrt{5-2\cos^2x\sin^2x}}$

b)$y=f\left(x\right)=3\sin^2x+5\cos^2x-4\cos2x-2$

c)$y=f\left(x\right)=\sin^6x+\cos^6x+2\forall x\in\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$

#Toán lớp 11

0

DH

Đỗ Hạnh Quyên

19 tháng 3 2016

Tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác sau :a) $\int\frac{dx}{\cos^2x\sin^2x}$ b) $\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx$c) $\int\tan^2xdx$ ...

Đọc tiếp

#Toán lớp 12

3

G

Guyo

19 tháng 3 2016

a) Áp dụng đồng nhất thức $\cos^2x+\sin^2x=1$

ta có : $\int\frac{1}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{dx}{\sin^2x}+\int\frac{dx}{\cos^2x}$

$=-\cot x+\tan x+C$

Đúng(0)

G

Guyo

19 tháng 3 2016

b) Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm ta thu được :

$\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx=\int\left(\tan^2x+2+\cot^2x\right)dx$

$=\int\left[\left(\tan^2x+1\right)+\left(\cot^2x+1\right)\right]dx$

$=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sin^2x}$

$=\tan x-\cot x+C$

Đúng(0)

R

Rell

3 tháng 9 2021

Giải phương trình sau:

a, $\sin\left(2x\right)+\sin\left(x\right)-\dfrac{1}{2\sin\left(x\right)}-\dfrac{1}{\sin\left(2x\right)}=2\cot\left(2x\right)$

b, $\left(\sin\left(2x\right)+cos\left(2x\right)\right)cos\left(x\right)+2cos\left(2x\right)-sin\left(x\right)=0$

c, $\sin\left(2x\right)-\cos\left(2x\right)+3\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)-1=0$

#Toán lớp 11

3

L

Linhhh

19 tháng 9 2021

b)

(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

⇔ cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2 x – 1) = 0

⇔ cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0

⇔ cos2x (cosx + sinx + 2) = 0

⇔ cos2x = 0

⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k (k ∈ )

Đúng(0)

L

Linhhh

19 tháng 9 2021

c)

Đáp án:

x= $\frac{π}{6}$ + k2 $π$

và x= $\frac{5 π}{6}$ +k2 $π$ (k∈Z)

Lời giải:

sin2x-cos2x+3sinx-cosx-1=0

⇔ 2sinxcosx-(1-2sin²x) +3sinx-cosx-1=0

⇔ 2sin²x+2sinxcosx+3sinx-cosx-2=0

⇔ (2sin²x+3sinx-2)+ cosx(2sinx-1)=0

⇔ (2sinx-1)(sinx+2)+cosx(2sinx-1)=0

⇔ (2sinx-1)(sinx+cosx+2)=0

⇔ sinx= $\frac{1}{2}$

⇔ x= $\frac{π}{6}$ + k2 $π$

hoặc x= $\frac{5 π}{6}$ +k2 $π$ (k∈Z)

(sinx+cosx+2)=0 (vô nghiệm do sinx+cosx+2= $\sqrt{2}$ sin(x+ $\frac{π}{4}$ )+2>0)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP