Question

[Phương Tuyết]

Cho ba số thực a;b;c thỏa mãn hệ sau: \(\hept{\begin{cases}a+b+c=4\\a^2+b^2+c^2=6\end{cases}}\)

Hãy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a³ + b²c + bc².           

Answer 1

[ミ★๖ۣۜPɦạм ๖ۣۜNɠυүệт๖ۣۜBăηɠ ★彡]

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=4\\a^2+b^2+c^2=6\end{cases}}\)

\(b^2+c^2=6-a^2\Rightarrow\left(b+c\right)^2-2bc=6-a^2\)

\(\Rightarrow2bc=\frac{\left(b+c\right)^2-6+a^2}{2}\)

\(=\frac{\left(4-a\right)^2-6+a^2}{2}\left(Do:a+b+c=4\right)\)

\(=\frac{2a^2-8a+10}{2}=a^2-4a+5\)

\(\Rightarrow P=a^3+bc\left(b+c\right)=a^3+\left(a^2-4a+5\right)\left(4-a\right)\left(Do:a+b+c=4\right)\)

\(=a^3+4a^2-16a+20-a^3+4a^2-5a\)

\(=8a^2-21a+20\)

\(=8\left(a^2-2.\frac{21}{16}a+\frac{441}{256}\right)+\frac{199}{32}\)

\(=8\left(a-\frac{21}{16}\right)^2+\frac{119}{32}\)

 .............................................................