Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng:
x8+y8+z8/x3y3z3>=1/x+1/y+1/z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HL
3
7 tháng 8 2017
Ta có:
\(\left(x+y\right)=\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)\)
\(\ge4\left(x+y\right)^2z\ge16xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
2 tháng 5 2020
Áp dụng công thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
Ta có \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
(1)(2)(3) => \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
NM
1
CC
29 tháng 10 2017
Ta có : 1/x²+1 + 1/y²+1 + 1/z²+1 >=3/2 <=> \(\frac{1}{x^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{z^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{1}{x^2+1}\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow1.2\ge x^2+1\Leftrightarrow x^2\le1\)
Mà x,y,z > 0 và xyz=1 => 0 < x,y,z < 1 => x2 < 1
tương tự vs y và z nhé
18 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( với x , y > 0 )
Ta có : \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
Suy ra :
\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tường tự ta có :
\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
Chúc bạn học tốt !!!
23 tháng 4 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\x+z=c\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=2\)
\(bdt\Leftrightarrow a+b\ge4abc\)
Ta có: \(4VT=4\left(a+b\right)=\left(a+b+c\right)^2\left(a+b\right)\ge4c\left(a+b\right)^2\ge16abc=4VP\)
Vậy bđt đc cm
NT
2
1 tháng 5 2015
+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:
\(x+x+y+z\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\)
=> 2x + y + z \(\ge4\sqrt[4]{x.x.y.z}\) (1)
Với 4 số dương \(\frac{1}{x};\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\) ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}\) (2)
Từ (1)(2) => \(\left(2x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4.\sqrt[4]{x.x.y.z}4.\sqrt[4]{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=16\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (*)
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\) (**)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\) (***)
Từ (*)(**)(***) => Vế trái \(\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}.4=1\)
=> đpcm
13 tháng 1 2019
+) Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số dương x; x; y; z ta có:
x+x+y+z≥44√x.x.y.z
=> 2x + y + z ≥44√x.x.y.z (1)
Với 4 số dương 1x ;1x ;1y ;1z ta có: 1x +1x +1y +1z ≥4.4√1x .1x .1y .1z (2)
Từ (1)(2) => (2x+y+z)(1x +1x +1y +1z )≥4.4√x.x.y.z4.4√1x .1x .1y .1z =16
=> 12x+y+z ≤116 .(2x +1y +1z ) (*)
Tương tự, ta có: 1x+2y+z ≤116 .(1x +2y +1z ) (**)
1x+y+2z ≤116 .(1x +1y +2z ) (***)
Từ (*)(**)(***) => Vế trái ≤116 (4x +4y +4z )=14 .(1x +1y +1z )=14 .4=1
=> đpcm
13 tháng 8 2017
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
13 tháng 8 2017
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
NM
1
TX
0
\(VT-VP=\frac{x^8+y^8+z^8}{x^3y^3z^3}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\equiv\frac{F\left(x;y;z\right)}{x^3y^3z^3}\)
Ta có: \(F\left(x;y;z\right)=G\left(x;y;z\right)+M\left(x;y;z\right)\ge0\)
Với \(G\left(x;y;z\right)=\)
(hiển nhiên không âm)
\(M\left(x;y;z\right)=\)
(cũng hiển nhiên không âm)
Ta có đpcm.
Olm ơi sao không hiển thị ảnh của em:(( Thôi kệ, bạn chịu khó đọc chữ thường nhé. (hồi lỗi nữa thì tính sau)