Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.Hai điểm M,N di động trên AB,AC sao cho AM/MB + AN/NC =1. Gọi AM=x, AN=y.Chứng minh:
a)MN^2=x^2 + y^2 - xy
b)MN=a -x-y
c)MN là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do vai trò của M; N như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(y\ge x\)
Từ M kẻ MH vuông góc AC \(\Rightarrow\) H nằm giữa A và N
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MH=AM.sin60^0=\frac{x\sqrt{3}}{2}\\AH=AM.cos60^0=\frac{x}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow NH=AN-AH=y-\frac{x}{2}\)
Pitago: \(MN^2=MH^2+NH^2=\frac{3}{4}x^2+\left(y-\frac{x}{2}\right)^2\)
\(=x^2+y^2-xy\)
Mặt khác:
\(\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\Leftrightarrow\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(a-y\right)+y\left(a-x\right)=\left(a-x\right)\left(a-y\right)\)
\(\Leftrightarrow2ax+2ay-2xy=a^2+xy\)
\(\Leftrightarrow-xy=a^2+2xy-2ax-2ay\)
Thay lên trên:
\(MN^2=x^2+y^2-xy=x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay\)
\(\Leftrightarrow MN^2=\left(a-x-y\right)^2\Rightarrow MN=a-x-y\)
a) Kẻ MH ⊥ AC ( H thuộc AC )
+ ΔAMH nửa đều \(\Rightarrow AM=2AH\)
+ ΔMHN vg tại H \(\Rightarrow MN^2=MH^2+NH^2=AM^2-AH^2+NH^2\)
\(=x^2+\left(AH^2+HN^2\right)-2AH^2=x^2+\left(AH+NH\right)^2-2AH^2-2AH\cdot NH\)
\(=x^2+y^2-2AH\left(AH+NH\right)=x^2+y^2-xy\)
b) \(\frac{AM}{BM}+\frac{AN}{CN}=1\Leftrightarrow\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(a-y\right)+y\left(a-x\right)=\left(a-x\right)\left(a-y\right)\)
\(\Leftrightarrow ax+ay-2xy=a^2-ax-ay+xy\Leftrightarrow a^2-2ax-2ay+3xy=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy=a^2+x^2+y^2-2ax-2ay+2xy=\left(a-x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow MN=a-x-y\)