Question

[Trần Quốc Tuấn hi]

1 Tính giá trị của biểu thức :

\(A=2020x+y^{2019}+z^{2019}\)

2 . Cho dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

Tính \(M=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)

3 . Tìm x , y , z nguyên dương biết x+y+z = xyz

Các bạn giúp mình với a! : Bạn @Vũ Minh Tuấn , @Băng Băng 2k6 , @Phạm Lan Hương và cô @Akai Haruma giúp em với a !!!

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

3.

\(x+y+z=xyz.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le x\le y\le z.\)

\(\Rightarrow x+y+z\le z+z+z\)

\(\Rightarrow x+y+z\le3z\)

\(\Rightarrow xyz\le3z\)

\(\Rightarrow xy\le3\)

\(\Rightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}.\)

Ta có 3 trường hợp:

+) TH1: \(xy=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1+1+z=1.1.z\)

\(\Rightarrow2+z=z\)

\(\Rightarrow2=z-z\)

\(\Rightarrow2=0\left(loại\right).\)

+) TH2: \(xy=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\) (vì \(x\le y\)).

\(\Rightarrow1+2+z=1.2.z\)

\(\Rightarrow3+z=2z\)

\(\Rightarrow3=2z-z\)

\(\Rightarrow3=1z\)

\(\Rightarrow z=3\left(TM\right).\)

+) TH3: \(xy=3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\) (vì \(x\le y\)).

\(\Rightarrow1+3+z=1.3.z\)

\(\Rightarrow4+z=3z\)

\(\Rightarrow4=3z-z\)

\(\Rightarrow4=2z\)

\(\Rightarrow z=2\left(TM\right).\)

Vậy các cặp số nguyên dương \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn đề bài là: \(\left(1;2;3\right),\left(1;3;2\right),\left(2;1;3\right),\left(2;3;1\right),\left(3;1;2\right),\left(3;2;1\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Answer 2

[Nguyễn Thanh Hằng]

2.

+) Nếu \(x+y+z+t=0\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\z+t=-\left(y+z\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(M=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)

\(=\frac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\frac{-\left(x+t\right)}{x+t}+\frac{-\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{-\left(y+z\right)}{y+z}\)

\(=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)

\(=-4\)

+) Nếu \(x+y+z+t\ne0\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=y+z+t\\3y=x+z+t\\3z=x+y+t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=x+y+z+t\\4y=x+y+z+t\\4z=x+y+z+t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=t\)

Ta có :

\(M=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)

\(=\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}\)

\(=1+1+1+1=4\)

Vậy..