1/ cho a,b,c >0
a+b+c=3:
chứng minh : \(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\) ≥ \(\frac{3}{4}\)
2/a,b,c>0
a+b+c=6
chứng minh : S= \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\) ≤ 6
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Áp dụng bất đẳng thức Min.cop.xki
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng:
\(S=\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c+a}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)^2}\)
Theo Bunhiacopxki: \(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=6\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2}\ge\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{6\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}+\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}+\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}+\frac{31}{32}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}.\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}.\frac{81}{12\left(a+b+c\right)}}+\frac{31}{32}.6^2\)
\(=\frac{153}{4}=\left(\frac{3\sqrt{17}}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\).
Ta có:\(\sqrt{4a+3b+2}\le\frac{9+4a+3b+2}{6}=\frac{4a+3b+11}{6}\)
\(\Rightarrow\sum\frac{a^2}{\sqrt{4a+3b+2}}\ge6.\sum\frac{a^2}{4a+3b+11}\)
Lại có:\(6.\sum\frac{a^2}{4a+3b+11}\ge6.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{7\left(a+b+c\right)+33}=\frac{54}{54}=1\)
\(\Rightarrow\sum\frac{a^2}{\sqrt{4a+3b+2}}\ge1\)
"="<=>x=y=z=1
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{4a+3b+2}+\sqrt{4b+3c+2}+\sqrt{4c+3a+2}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+3b+2+4b+3c+2+4c+3a+2\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{3\left(7\left(a+b+c\right)+6\right)}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\)
\(VT=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\frac{4a+a+3b}{2}+\frac{4b+b+3c}{2}+\frac{4c+c+3a}{2}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
1/ a/dung bđt Cauchy - Schwarz dạng phân thức: \(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{4}\)
2/ a/dung bđt bunhiacopxki :
\(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=3\cdot2\left(a+b+c\right)=6\cdot6=36\)
=> \(S\le6\)