Question

[BiBo MoMo]

tìm cặp số x,y và y nhỏ nhất thoả mãn 

x²+5y²+2y-4xy-3=0

Answer 1

[Phạm Thị Thùy Linh]

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0.\)

\(\Rightarrow x^2-4xy+4y^2+y^2+2y-3=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-4=0\)

Vậy cặp số x,y nhỏ nhất thỏa mãn là \(\hept{\begin{cases}x-2y=0\\y+1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=0\\y=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x+2=0\\y=-1\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow x=-2;y=-1\)

Answer 2

[Nguyễn Thùy Trang ( team ASL)]

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

=> \(\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\)

=> \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-2^2=0\)

=> \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1-2\right)\left(y+1+2\right)=0\)

=> \(\left(x-2y\right)^2+\left(y-1\right)\left(y+3\right)=0\)

Mà   \(\left(x-2y\right)^2 \ge 0 \forall x\) 

=> \(\left(y-1\right)\left(y+3\right)\le0\)   Mặt khác \(y-1 < y+3 \)

=> \(\hept{\begin{cases}y-1\le0\\y+3\ge0\end{cases}}\)=> \(-3\le y\le1\)  mà y nhỏ nhất 

=> \(y=-3\)

Thay vào biểu thức, ta có \(\left(x+6\right)^2+\left(-3-1\right)\left(-3+3\right)=0\) => \(\left(x+6\right)^2=0\)  => \(x+6=0\) => \(x=-6\)

    Vậy x=-6 , y=-3