Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng
( 1/ a +1/b) ( a + b) lớn hơn hoặc bằng 4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BH
3
DT
16 tháng 2 2022
\(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).\left(a-b\right)\ge4\)
t có cách k dùng bdt cô-si luon nek , mà chắc lớp 8 k hẻo đeo:>
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
30 tháng 3 2022
\(a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a^2+1}{a}\ge\dfrac{2a}{a}=2;b+\dfrac{4}{b}=\dfrac{b^2+4}{b}\ge\dfrac{4b}{b}=4;c+\dfrac{9}{c}=\dfrac{c^2+9}{c}\ge\dfrac{6c}{c}=6\)
\(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+\left(b+\dfrac{4}{b}\right)+\left(c+\dfrac{9}{c}\right)\ge2+4+6=12\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\)
Vì a > 0 và b > 0 \(\Rightarrow ab>0\)
Vậy \(\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow b^2+a^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
bài này có nhiều hướng đi lắm =))
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\frac{4}{a+b}\cdot\left(a+b\right)=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\); \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\cdot2\sqrt{ab}=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
3. \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2+2=4\)(AM-GM)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b