cho tam giác ABC, M tùy ý.
a) xác định D,E,F thỏa mãn MD=MC+AB.ME=MA+BC, MF=MB+CA. chứng minh vị trí D,E,F không phụ thuộc vị trí điểm M
b) So sánh MA+MB+MC và MD+ME+MF
Vectơ hết nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 10 2020
Lời giải:
a)
$2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD})$
$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$
Tương tự:
$\overrightarrow{BE}=\frac{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}}{2}$
$\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$
Cộng lại:
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}}{2}=\overrightarrow{0$}$
Ta có đpcm.
b)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FC}$
$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})+(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})$
$=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF})$
$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{0}$ (theo phần a)
$=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$
Ta có đpcm.
BT
17 tháng 5 2017
Có \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{CM}\)
\(=\left(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}\right)=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\) (Không phụ thuộc vào vị trí điểm M).
b) Dựng hình bình hành BCAD. Theo quy tắc hình bình hành:
\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}\).
Vậy \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}\).
6 tháng 8 2017
\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\)
\(=2\overrightarrow{ME}-2\overrightarrow{MC}\) (E là trung điểm cạnh AB)
\(=\left(\overrightarrow{ME}-MC\right)=2\overrightarrow{CE}\)
vậy \(\overrightarrow{v}\) không phụ thuộc vị trí của điểm M
\(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{CE}\) thì E là trung điểm của CD
\(\Rightarrow\) ta dựng được điểm D
20 tháng 7 2017
BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA
Giải
Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có:
a) Ta có Stam giác BMC+Stam giác CMA+Stam giác AMB =Stam giác ABC
<=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah
<=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) x2+y2\(\ge\)2xy ; y2+z2\(\ge\)2yz ; z2+x2\(\ge\)2zx
=>2.(x2+y2+z2) \(\ge\)2xy+2xz+2yz
=>3.(x2+y2+z2) \(\ge\)x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
=>x2+y2+z2 \(\ge\)(x+y+z)2/3=h2/3 không đổi
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Vậy để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABC
20 tháng 7 2017
\(a.\)Ta có: \(S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}\)
\(S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}\)\(\Rightarrow\)\(z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}\)
\(S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}\)\(\Rightarrow\)\(y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}\)
mà \(\Delta ABC\) đều nên AB = BC = CA
suy ra \(x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}\)
suy ra đpcm
ML
3 tháng 10 2015
Gọi MH là đường cao kẻ từ M của tam giác MBC, AK là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Do MH vuông BC và AK vuông BC nên MH // AK
=> Theo Talet: \(\frac{ME}{AE}=\frac{MH}{AK}\)
Lại có: \(\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}.MH.BC}{\frac{1}{2}.AK.BC}=\frac{MH}{MK}\)
Tương tự ta có: \(\frac{MF}{BF}=\frac{S_{MAC}}{S_{ABC}};\frac{MD}{CD}=\frac{S_{MAB}}{S_{ABC}}\)
Cộng theo vế: \(\frac{ME}{AE}+\frac{MF}{BF}+\frac{MD}{CD}=\frac{S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
23 tháng 1 2020
mình nghĩ đề cho bổ sung là cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( O ) vì mình đã từng làm rồi
lời giải :
a) vì MD = MB nên \(\Delta MBD\)cân tại M
\(\widehat{BMD}=\widehat{BCA}=60^o\)( cùng chắn cung AB )
\(\Rightarrow\)\(\Delta MBD\)đều
b) Xét \(\Delta MBC\)và \(\Delta BDA\)có :
MB = BD ; BC = AB ; \(\widehat{MBC}=\widehat{DBA}\)( cùng cộng góc DBC bằng 60 độ )
\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta DBA\left(c.g.c\right)\)suy ra MC = AD
c) Mà MB = MD ( câu a )
nên MC + MB = MD + AD = MA
d) Ta có : MA là dây cung của ( O ; R ) \(\Rightarrow MA\le2R\)
\(\Rightarrow MB+MC+MA=2MA\le4R\)( không đổi )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung BC
Tham khảo:
Cộng đồng học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum