chứng minh
\(1998< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1000000}}< 1999\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
30 tháng 6 2021
1) Có nhận xét sau:
\(\frac{1}{a\sqrt{a+1}+\left(a+1\right)\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)}=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+a}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a+1}}.\)Do đó biểu thức có giá trị bằng: \(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+..-\frac{1}{\sqrt{1999}}=1-\frac{1}{\sqrt{1999}}.\)
S
30 tháng 6 2021
2) Có nhận xét sau:
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{a+1}\right)\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}.\) Thay vào biểu thức ta được biểu thức
có giá trị bằng: \(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{1999}-\sqrt{1998}=\sqrt{1999}-1.\)
4 tháng 10 2016
Bạn áp dụng \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)với n = 1, 2 , 3 , ... , 1999
PL
12 tháng 3 2020
\(2\frac{1998}{1999}\)là hỗn số hay \(2.\frac{1998}{1999}\)hả bạn?
1 tháng 10 2018
Với a , b , c là số hữu tỉ t/m a = b + c ta luôn có \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\in Q\)
Thật vậy : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{bc}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{ab}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2.abc\left(a-b-c\right)}{a^2b^2c^2}}\)(quy đồng lên )
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2}\left(\text{do a-b-c=0}\right)\)
\(=\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\in Q\)
Áp dụng ta được \(A=\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-1\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-1\right|+...+\left|\frac{1}{2000}-\frac{1}{1999}-1\right|\)là số hữu tỉ
Vậy A là số hữu tỉ
11 tháng 8 2016
\(\sqrt{1.1998}< \frac{1+1998}{2}\)
\(S>\frac{2}{1999}+\frac{2}{1999}+...+\frac{2}{1999}=2.\frac{1998}{1999}\)
30 tháng 9 2016
Áp dụng \(\frac{1}{\sqrt{a.b}}>\frac{2}{a+b}\) , ta có :
\(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{k\left(1998-k+1\right)}}+...+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}>\)
\(>\frac{2}{1+1998}+\frac{2}{2+1997}+...+\frac{2}{k+1998-k+1}+...+\frac{2}{1998+1}=\)
\(=\frac{2.1998}{1999}\)
Vậy \(S>\frac{2.1998}{1999}\)