1/cho a,b,c là các số dương và \(a^2+b^2+c^2=1\).tìm GTNN của P= \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\)
2/ gpt: \(x^2+5x+9=\left(x+5\right)\sqrt{x^2+9}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
N
11 tháng 9 2019
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
N
11 tháng 9 2019
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
14 tháng 6 2019
\(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[2-\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}\right]+\left[2-\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}\right]+\left[2-\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\right]\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có :
\(\frac{b^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)( 1 )
\(\frac{ac}{a\left(b+c\right)}+\frac{ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}=\frac{c^2}{c\left(b+c\right)}+\frac{a^2}{a\left(a+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(a+b\right)}\) ( 2 )
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\)
Cộng ( 1 ) với ( 2 ), ta được :
\(\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)}\right)=\frac{9}{2}\)
14 tháng 6 2019
không biết cách này ổn không
Ta có : \(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{2-\frac{b}{a}}{\frac{c}{b}+1}\) ; tương tự :...
đặt \(\frac{a}{c}=x;\frac{b}{a}=y;\frac{c}{b}=z\Rightarrow xyz=1\)
\(\Sigma\frac{2-y}{z+1}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\Sigma xy^2+2\Sigma x^2+\Sigma xy\ge3\Sigma x+6\)( quy đồng khử mẫu )
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{x}{y}\ge\Sigma x\)( xyz = 1 ) ( luôn đúng )
\(\Rightarrowđpcm\)
T
22 tháng 9 2019
Bài 3: Full 2 cách (sai chỗ nào nhắn em cái,và ko biết ad đã fix lỗi ko dán đc link bên h vào chưa, nếu chưa thì ib em gửi full link):
Câu hỏi của Phạm Hoàng Lê Nguyên - Toán lớp 1 | Học trực tuyến
T
22 tháng 9 2019
Bài 3: \(P=\Sigma\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{2}.\Sigma\frac{1}{\sqrt{bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\frac{1}{2}.\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\)
Vậy...
P/s: Sai /thắc mắc chỗ nào thì nhắn hộ em cái chứ đừng tk sai:P
MN
4 tháng 4 2020
Bài 1 :
a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\\x\ne9\end{cases}}\)
\(A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}:\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)
b) Để \(A< -1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< -1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< -\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}< 1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x< \frac{1}{4}\)
Vậy để \(A< -1\Leftrightarrow x< \frac{1}{4}\)
N
3 tháng 9 2016
1)ĐK:\(x\in\left[-3;\frac{6}{5}\right]\)
pt\(\Leftrightarrow3\left(x^2-x+2\right)-3\left[\sqrt{6-5x}-\left(x-2\right)\right]+\left[3\sqrt{x+3}-\left(x+5\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+2\right)\left(\frac{3}{\sqrt{6-5x}+x-2}+\frac{1}{3\sqrt{x+3}+x+5}+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\)-x+2=0(do(...)>0)
\(\Leftrightarrow x=-2\)hoặc \(x=1\)(t/m)
N
3 tháng 9 2016
ÁD BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(a+b+c\right)\left[\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right]\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\)
Lại có:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
\(=\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(\frac{3}{2}\right)^2\)=\(\frac{9}{4}\)(đpcm)
Dấu''='' xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
27 tháng 3 2019
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c.1+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)( bđt Cosi)
Tương tự như trên: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right);\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)
"=" Xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=b\)
\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}\Leftrightarrow a=c\)
\(\frac{c}{a+c}=\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow b=c\)
\(a+b+c=1\)
Từ các điều trên ta có đc: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy GTLN của P=3/2 khi và chỉ khi a=b=c=1/3
1.
\(P=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\)
\(P^2=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2a^2+2b^2+2c^2\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(P^2=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}\right)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\cdot2\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\)
Do đó \(P\ge\sqrt{3}\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
2. \(x^2+5x+9=\left(x+5\right)\sqrt{x^2+9}\)
Đặt \(\sqrt{x^2+9}=a>0\)
\(\Leftrightarrow a^2=x^2+9\)
\(pt\Leftrightarrow a^2+5x=\left(x+5\right)\cdot a\)
\(\Leftrightarrow a^2+5x-ax-5a=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-x\right)-5\left(a-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-x\right)\left(a-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=x\\a=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+9}=x\\\sqrt{x^2+9}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+9=x^2\\x^2+9=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\varnothing\\x\in\left\{\pm4\right\}\end{matrix}\right.\)
Vậy...
Chữ hơi xấu thông cảm nha.