Question

[fds hh]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì: a^3+b^3+c^3/ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) >= 1/2

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Ta chứng minh: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thực vậy, BĐT tương đương:

\(a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng với a; b dương)

Vậy BĐT được chứng minh

Tương tự ta có: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\); \(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)