Question

[Đinh Doãn Nam]

Bài 1:Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện:a+b+c+ab+bc+ca=9.chứng minh rằng

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge5\)

Bài 2: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn:

\(x+\sqrt{2-x^2}=4y^2+4y+3\)

Bài 3:Cho các số thực dương x;y;z thỏa mãn x+y+z=4.chứng minh rằng:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)

Answer 1

[tthnew]

1/ Đầu tiên ta chứng minh: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\) (1)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^3}{b}-a^2\right)\ge0\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2\left(a-b\right)}{b}-a\left(a-b\right)\right)+\Sigma_{cyc}a\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a\left(a-b\right)^2}{b}+\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a\left(a-b\right)^2}{b}+\Sigma_{cyc}\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+b\right)}{2b}\ge0\)

BĐT cuối đúng nên (1) đúng. (*)

Bây giờ ta đi chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge5\)

Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca\right)\rightarrow\left(3u;3v^2\right)\) thì \(3u=9-3v^2\)

và \(a^2+b^2+c^2=\left(3u\right)^2-6v^2=\left(9-3v^2\right)^2-6v^2\)

\(=\left(3v^2-9\right)^2-6v^2=9v^4-60v^2+81\)

Đặt \(v^2=t\ge0\) .Ta cần tìm min của: \(9t^2-60t+81\)

Ta có: \(9t^2-60t+81=\left(3t-10\right)^2-19\ge-19\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 10/3 tức là v= \(\sqrt{\frac{10}{3}}\)....

Em thấy có gì đó sai sai thì phải ạ:((

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 1:

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\) ; \(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\); \(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+ac+bc\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)

//

\(a+b+c+ab+ac+bc\le a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c-\frac{3\sqrt{13}-3}{2}\right)\left(a+b+c+\frac{3\sqrt{13}+3}{2}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3\sqrt{13}-3}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{3\sqrt{13}-3}{2}\right)^2=\frac{21-3\sqrt{13}}{2}>5\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>5\)

Dấu "=" ko xảy ra