Cho tam giác ABC nội tiếp (O) . Từ tiếp tuyến tại K của đtron ngoại tiếp BOC cắt AB, AC tại E và F. Lấy A' đx A qua EF. Cmr đtron ( A'EF ) tiếp xúc (O) .
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta thấy: Điểm K nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)BDE nên tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn
=> ^BEK = ^BDK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK) hay ^AEK = ^FDK
Mà tứ giác DKFC nội tiếp đường tròn => ^FDK = ^FCK
Nên ^AEK = ^FCK hay ^AEK = ^ACK => Tứ giác AKCE nội tiếp đường tròn
=> ^KAE = ^KCD (Cùng bù ^KCE) hay ^KAB = ^KCD
Do tứ giác BKDE nội tiếp đường tròn nên ^KDE = ^KBA hay ^KBA = ^KDC
Xét \(\Delta\)DKC và \(\Delta\)BKA có: ^KAB = ^KCD; ^KBA = ^KDC => \(\Delta\)DKC ~ \(\Delta\)BKA (g.g)
=> \(\frac{KC}{KA}=\frac{KD}{KB}\Rightarrow\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\).
Đồng thời ^DKC = ^BKA => ^DKC + ^BKC = ^BKA + ^BKC => ^BKD = ^AKC
Xét \(\Delta\)KBD và \(\Delta\)KAC có: ^BKD = ^AKC; \(\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\)=> \(\Delta\)KBD ~ \(\Delta\)KAC (c.g.c)
=> ^KBD = ^KAC hoặc ^KBF = ^KAF => Tứ giác AKFB nội tiếp đường tròn
=> ^BKF = ^BAF (2 góc nội tiếp chắn cung BF) => ^BKF = ^BAC = ^BDC (Do ^BAC và ^BDC cùng chắn cung BC) (1)
Ta có: ^BDC = ^FDC = ^FKC (Cùng chắn cung FC) (2)
Xét \(\Delta\)BMC: ^BMC + ^MBC + ^MCB = 1800. Mà ^MBC = ^BAC; ^MCB = ^BDC (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Nên ^BAC + ^BDC + ^BMC = 1800 (3)
Thế (1); (2) vào (3) ta được: ^BKF + ^FKC + ^BMC = 1800 => ^BKC + ^BMC = 1800
=> Tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Ta có: ^BKF = ^BDC (cmt) => ^BKF = ^BDE = ^BKE (Do tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn)
Mà 2 điểm F và E nằm cùng phía so với BK => 3 điểm K;F;E thẳng hàng. Hay F nằm trên KE (*)
Mặt khác: ^BKF = ^CKF (Vì ^BKF = ^BAC; ^CKF = ^BDC; ^BAC = ^BDC)
=> ^BKE = ^CKE (Do K;F;E thẳng hàng) => ^KE là phân giác của ^BKC (4)
Xét tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn: ^MBC = ^MKC; ^MCB = ^MKB
Lại có: \(\Delta\)BCM cân ở M do MB=MC (T/c 2 tiếp tuyến giao nhau) => ^MBC=^MCB
Từ đó: ^MKC = ^MKB => KM là phân giác của ^BKC (5)
Từ (4) và (5) suy ra: 3 điểm K;M;E thẳng hàng. Hoặc M nằm trên KE (**)
Từ (*) và (**) => 3 điểm E;M;F thẳng hàng (đpcm).
góc ABO+góc ACO=180 độ
=>ABOC nội tiếp
góc A chung
góc NBD=góc AEB
=>ΔABD đồng dạg vơi ΔAEB
=>AB/AE=AD/AB=BD/EB
Chứng minh tương tự, ta được: ΔACD đồng dạng với ΔAEC
=>AC/AE=CD/CE
mà AB=AC
nên AD/AB=AD/AC
=>BD/BE=CD/CE
=>BD*CE=BE*CD
góc M chung
góc MCN=góc MBC
=>ΔMCN đồng dạng với ΔMBC
=>MC/MB=MN/MC
=>MB*MN=MC^2=MA^2
=>MA/MB=MN/MA
=>ΔMAN đồng dạng với ΔMBA
=>góc MAN=góc MBA
=>BC là tiếp tuyến của (K)
=>BC vuông góc CK
a: Vì góc AKB=góc AHB=90 độ
=>AKHB nội tiếp
b: góc FBC=góc HAC=góc EBC
=>BH là phân giác của góc EBI
Trên nửa mặt phẳng bờ ME chứa S, vẽ tiếp tuyến Ex của đường tròn ngoại tiếp ΔMEF
=>góc SFE=góc MEx
=>góc MES=góc MEx
=>SE trùg với Sx
=>SE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMEF
1: M là điểm chính giữa của cung AC
=>MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc AC tại K
góc AHO+góc AKO=180 độ
=>AHOK nội tiếp
3: Gọi G là trung điểm của AB
ΔOAB cân tại O
mà OG là trung tuyến
nên OG là trung trực của AB
=>OH là một phần đường kính của đường tròn ngoại tiếp ΔOAB
Xet ΔABC co BH/BA=BO/BC
nên OH//AC
=>OH vuông góc OM
=>OM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiêp ΔABC