Question

[Văn Quyết]

Câu 1 :Cho tam giác ABC. Giá trị lớn nhất của biểu thức P= 2(sin A + sin B) - 2cos C
Câu 2 :Cho hình tròn (C) : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\) và đường thẳng (d): x-y+7=0. Gọi M(a;b) là điểm thuộc (d) mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA và MB tới (C) sao cho độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a+b bằng
Giúp mình với

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 1:

\(P=4sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-2\left(2cos^2\frac{C}{2}-1\right)\)

\(P=4cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}-4cos^2\frac{C}{2}+2\)

\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{C}{2}-4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+P-2=0\)

Đặt \(x=cos\frac{C}{2}\)

\(\Rightarrow4x^2-4cos\frac{A-B}{2}.x+P-2=0\) (1)

Do góc C luôn tồn tại \(\Rightarrow\) phương trình (1) luôn có ít nhất 1 nghiệm

\(\Delta'=4cos^2\frac{A-B}{2}-4\left(P-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{A-B}{2}+8\ge4P\Rightarrow P\le cos^2\frac{A-B}{2}+2\le3\)

\(\Rightarrow P_{max}=3\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}A=B\\cos\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=B=30^0\\C=120^0\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Câu 2: đường tròn tâm \(O\left(1;2\right)\) ; \(R=2\)

Do \(M\in d\Rightarrow M\left(a;a+7\right)\)

\(OM^2=\left(a-1\right)^2+\left(a+5\right)^2=2a^2+8a+26\)

\(\Rightarrow MA^2=MB^2=IM^2-R^2=\left(a-1\right)^2+\left(a+5\right)^2-4=2a^2+8a+22\)

Ta có \(\Delta OAM=\Delta OBM\Rightarrow S_{OAMB}=2S_{OAM}=OA.AM=R.AM\)

Mặt khác do \(OM\perp AB\) (tính chất đường tròn)

\(\Rightarrow S_{OAMB}=AB.OM\)

\(\Rightarrow AB.OM=R.AM\Rightarrow AB^2=\frac{R^2.AM^2}{OM^2}=\frac{4\left(2a^2+8a+22\right)}{2a^2+8a+26}=\frac{4\left(a^2+4a+11\right)}{a^2+4a+13}\)

\(\Rightarrow AB^2=4-\frac{8}{a^2+4a+13}=4-\frac{8}{\left(a+2\right)^2+9}\ge4-\frac{8}{9}=\frac{28}{9}\)

\(\Rightarrow AB_{min}=\frac{2\sqrt{7}}{3}\) khi \(a=-2\Rightarrow b=5\Rightarrow a+b=3\)