Cho a,b,c và x,y,z,w >0 thỏa:
\(\hept{\begin{cases}ab+ac=x\\bc+ab=y\\ac+bc=z\end{cases}}\)và \(\omega=abc\)
Tìm Min của A= \(\frac{2\left(a^3c+b^3a+c^3b\right)}{\omega\left(x+y+z\right)}\cdot\left(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\right)\)
P/s: More difficult this time. I guess.
Proposed: Cà Bui
Supporter: tth(CTV)
Cue: Chỉ cần thu gọn.... thì bài toán sẽ vô cung dễ.
Quá ez, nhưng cũng khá khen cho m đấy tth =))
\(A=\frac{2\left(a^3c+b^3a+c^3b\right)}{\omega\left(x+y+z\right)}.\left(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\right)\)
\(=\frac{2\Sigma_{cyc}a^3c}{abc.\Sigma\left(ab+bc\right)}.\Sigma\frac{a^3}{ab+ac}\)
\(=\frac{\Sigma_{cyc}a^3c}{abc\left(ab+bc+ca\right)}.\Sigma\frac{a^2}{b+c}\)
\(\ge\frac{\Sigma_{cyc}a^3c}{abc.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(áp dụng \(\Sigma ab\le\frac{\left(\Sigma a\right)^2}{3}\)và Cô-si dạng engel)
\(=\frac{3\Sigma_{cyc}a^3c}{2abc\left(a+b+c\right)}\)
Ta đi chứng minh \(\frac{\Sigma_{cyc}a^3c}{abc\left(a+b+c\right)}\ge1\)thật vậy
Bđt \(\Leftrightarrow\frac{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}}{a+b+c}\ge1\)
Có \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}}{a+b+c}\ge1\left(Q.E.D\right)\)
Nên \(A\ge\frac{3\Sigma_{cyc}a^3c}{2abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" tại a=b=c và w=a3
P/S: 2 anh chị giỏi quá, nghĩ hẳn ra đề luôn , muốn solo toán với em không ? >: e lớp 7 thôi hà