Cho hình lập phương abcd.a'b'c'd' với A(0.0.0) B(1.0.0) D(0.1.0) A'(0.0.1). Biết rằng có hai mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a mà cosa = 1/(căn6). Góc giữa hai mặt phẳng đó là
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nối \(SB';SC';SD'\) lần lượt cắt \(A'B';A'C';A'D'\) tại M, N, P
\(\Rightarrow M,N,P\) là trung điểm của A'B', A'C', A'D' theo tính chất đường trung bình
\(\Rightarrow A'MNP\) là hình vuông cạnh \(\frac{a}{2}\)
\(V_{A'MNP.ABCD}=V_{S.ABCD}-V_{S.A'MNP}=\frac{1}{3}\left(SA.AB^2-SA'.AM^2\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(2a.a^2-a.\left(\frac{a}{2}\right)^2\right)=\frac{7a^3}{12}\)
Đề sai bạn, BD' làm sao vuông góc với (A'C'D') hay cũng là (A'B'C'D') được
Gọi giao của SB với \(A'B'\) là M, giao của \(SD\) với \(A'D'\) là N
\(\Rightarrow M,N\) lần lượt là trung điểm A'B' và A'D'
\(\Rightarrow\Delta MA'N\) vuông cân tại A' với \(A'M=A'N=\frac{a}{2}\)
\(V_{A'MN.ABD}=V_{S.ABD}-V_{SA'MN}=\frac{1}{6}\left(SA.AB^2-SA'.A'M^2\right)\)
\(=\frac{1}{6}\left(2a.a^2-a.\left(\frac{a}{2}\right)^2\right)=\frac{7a^3}{24}\)
I là tâm ABCD \(\Rightarrow\) I là trung điểm BD
J là tâm ABB'A' \(\Rightarrow\) J là trung điểm A'B
\(\Rightarrow\) IJ là đường trung bình của tam giác A'BD
\(\Rightarrow\) IJ//A'D
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là $x$
Theo định lý Pitago ta có:
\(B'D'^2=A'B'^2+A'D'^2=x^2+x^2=2x^2\)
Độ dài đường chéo:
\(BD'=\sqrt{BB'^2+B'D'^2}=\sqrt{x^2+2x^2}=\sqrt{3}x=2\sqrt{3}a\)
\(\Rightarrow x=2a\)
Đường cầu nội tiếp hình lập phương là đường cầu có bán kính bằng một nửa độ dài cạnh lập phương
\(\Rightarrow r=\frac{x}{2}=a\)
Do đó diện tích mặt cầu cần tìm là: \(S_{c}=4\pi r^2=4\pi a^2\)
Đáp án C
Gọi mặt phẳng (P) chứa A'C có pt \(ax+by+cz+d=0\)
Do \(A'\left(0;0;1\right);C\left(1;1;0\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c+d=0\\a+b+d=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-d\\b=-a-d\end{matrix}\right.\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(a;b;c\right)\\\overrightarrow{n_{Oxy}}=\left(0;0;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow cos\alpha=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)
\(\Leftrightarrow6c^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow5c^2-a^2-b^2=0\) (2)
Thế (1) vào (2):
\(5d^2-a^2-\left(a+d\right)^2=0\Leftrightarrow2d^2-ad-a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2d+a\right)\left(d-a\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=d\Rightarrow b=-2d\\a=-2d\Rightarrow b=d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a;b;c\right)=\left(d;-2d;-d\right)=d\left(1;-2;-1\right)\\\left(a;b;c\right)=\left(-2d;d;-d\right)=-d\left(2;-1;1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2;-1\right)\\\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1;1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Góc giữa 2 mặt phẳng:
\(cos\beta=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|2+2-1\right|}{\sqrt{1+4+1}.\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\beta=60^0\)