Question

[Đặng Trần Thảo Vi]

Với a,b,c dương. CMR:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Answer 1

[X1]

Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=3+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)thật vậy :

Giả sử : \(a\ge b\)không làm mất tính tổng quát của bài toán :

\(\Rightarrow a=m+b\left(m\ge0\right)\)

Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\)

\(\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Tương tự : \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)

\(\Rightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

làm dài vậy??

Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số ta được:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(a+b+c\ge\sqrt[3]{abc}\)

Nhân vế theo vế của 2 BĐT ta được:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=9\left(đpcm\right)\)