Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 . Tính GTNN P=a^3/b^2+a^2 +b^3/b^2+c^2 +c^3/a^2+c^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 4 2019
1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)
\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
21 tháng 4 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)
D
cho a,b,c > 0 . Tìm GTNN của
\(P=\frac{2+a^3}{2+a+b^3}+\frac{2+b^3}{2+b+c^3}+\frac{2+c^3}{2+c+a^3}\)
0
PV
1
ML
11 tháng 7 2015
Áp dụng Côsi:
\(a^2+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2\ge2\sqrt{\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2.a^2}=2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}a\)
\(b^2+\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2\ge2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}b\)
\(c^3+\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3.c^3}=3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3+2\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2+2\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}a+2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}b+3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3+2.\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2+3.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\ge\frac{19-\sqrt{37}}{6}\left(a+b+c\right)=\frac{19-\sqrt{37}}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^3\ge\frac{19-\sqrt{37}}{2}-2.\left(\frac{19-\sqrt{37}}{12}\right)^2-2.\left(\frac{\sqrt{37}-1}{6}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12};\text{ }c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}\)
Vậy GTNN của biệu thức là .......
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
NN
0
HK
0
CD
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
3 tháng 5 2022
Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).