Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=4
Cm: \(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{y^3}+\sqrt[4]{z^3}>2\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Đề bài chắc chắn là có vấn đề
Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra
Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế
Nhưng đẳng thức không xảy ra.
13 tháng 7 2016
Đặt \(a=\sqrt{2x-3}\) ; \(b=\sqrt{y-2}\) ; \(c=\sqrt{3z-1}\) (\(a,b,c>0\))
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}+a+b+c=14\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-3}+\frac{1}{\sqrt{2x-3}}-2\right)+\left(\sqrt{y-2}+\frac{4}{\sqrt{y-2}}-4\right)+\left(\sqrt{3z-1}+\frac{16}{\sqrt{3z-1}}-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{\left(2x-3\right)-2\sqrt{2x-3}+1}{\sqrt{2x-3}}\right]+\left[\frac{\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4}{\sqrt{y-2}}\right]+\left[\frac{\left(3z-1\right)-8\sqrt{3z-1}+16}{\sqrt{3z-1}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2}{\sqrt{2x-3}}+\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2}{\sqrt{3z-1}}=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{cases}}}\)(TMĐK)
Vậy : \(\left(x;y;z\right)=\left(2;6;\frac{17}{3}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2022
Ta có:
\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\) ; \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\le\sqrt{2}\left(3+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)
\(P_{max}=6+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)
XO
1 tháng 4 2022
Ta có P \(\le\dfrac{1^2+\left(\sqrt{x-1}\right)^2}{2}+\dfrac{2^2+\left(\sqrt{y-4}\right)^2}{2}+\dfrac{3^2+\left(\sqrt{z-9}\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{1+x-1+4+y-4+9+z-9}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{28}{2}=14\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}1=\sqrt{x-1}\\2=\sqrt{y-4}\\3=\sqrt{z-9}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2;y=8;z=18\)(tm)
KN
29 tháng 1 2020
Ta có: \(4^x.4^y.4^z=4^{x+y+z}=4^0=1\)
Áp dụng BĐT cô - si cho 4 số dương:
\(3+4^x=1+1+1+4^x\ge4\sqrt[4]{4^x}\)\(\Rightarrow\sqrt{3+4^x}\ge2\sqrt{\sqrt[4]{4^x}}=2\sqrt[8]{4^x}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{3+4^y}\ge2\sqrt[8]{4^y}\);\(\sqrt{3+4^z}\ge2\sqrt[8]{4^z}\)
\(VT=\text{Σ}_{cyc}\sqrt{3+4^x}=2\left[\sqrt[8]{4^x}+\sqrt[8]{4^y}+\sqrt[8]{4^z}\right]\)
\(\ge2.3\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^x.4^y.4^z}}=6\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=0\))