Question

[Nguyễn Mạnh Hiển]

 Cho n thuộc N*.Chứng minh rằng :

10ⁿ + 18 . n - 1 chia hết cho 27.

Answer 1

[Việt Dũng Murad]

 Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

Answer 2

[Việt Dũng Murad]

chọn n=1 => 10+18-1=27 chia hết cho 27 (luôn đúng) 
giả sử với mọi n=k (k thuộc N*) thì ta luôn có 10^k+18k-1 chia hết cho 27. 
Cần chứng minh với n=k+1 thì 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27. 
Ta có 10^(k+1)+18(k+1)-1= 10*10^k+18k+18-1 
= (10^k+18k-1)+9*10^k+18 
= (10^k+18k-1)+9(10^k+2) 
ta có: (10^k+18k-1) chia hết cho 27 => 10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 khi và chỉ khi 9(10^k+2) chia hết cho 27. 

Chứng minh 9(10^k+2) chia hết cho 27. 
chọn k=1 => 9(10+2)=108 chia hết cho 27(luôn đúng) 
giả sử k=m(với m thuộc N*) ta luôn có 9(10^m+2) chia hết cho 27. 
ta cần chứng minh với mọi k= m+1 ta có 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27. 
thật vậy ta có: 9(10^(m+1)+2)= 9( 10*10^m+2)= 9( 10^m+9*10^m+2) 
= 9(10^m+2) +81*10^m 
ta có 9(10^m+2) chia hết cho 27 và 81*10^m chia hết cho 27 => 9(10^(m+1)+2) chia hết cho 27 
=>9(10^k+2) chia hết cho 27 
=>10^(k+1)+18(k+1)-1 chia hết cho 27 
=>10^n+18n-1 chia hết cho 27=> đpcm.