cho tam giác ABC.trên cạnh BC lấy M. goi S1,S2 là diện tích tam giác MAB và MAC.
cm:\(\left(S_1+S_2\right).\overrightarrow{AM}=S_1.\overrightarrow{AC}+S_2.\overrightarrow{AB}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có vẻ không đúng.
Giả sử \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow M\equiv B\) (Vô lí)
+) \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {ABC} = 60^\circ \)
+) Dựng hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = 120^\circ \)
+), Ta có: ABC là tam giác đều, H là trung điểm BC nên \(AH \bot BC\)
\(\left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {HAD} = 90^\circ \)
+) Hai vectơ \(\overrightarrow {BH} \) và \(\overrightarrow {BC} \)cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0^\circ \)
+) Hai vectơ \(\overrightarrow {HB} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 180^\circ \)
Lời giải:
Theo công thức diện tích quen thuộc:
\(S_1=S_{MAB}=\frac{1}{2}MB.MA.\sin \widehat{AMB}\)
\(S_2=S_{MAC}=\frac{1}{2}.MC.MA\sin \widehat{AMC}\)
\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2}=\frac{MB}{MC}.\frac{\sin \widehat{AMB}}{\sin (180-\widehat{AMB})}=\frac{MB}{MC}=\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow {MC}}\)
\(\Rightarrow S_1\overrightarrow{MC}=S_2\overrightarrow{BM}\)
\(\Leftrightarrow S_1(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC})=S_2(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM})\)
\(\Leftrightarrow S_1\overrightarrow{AC}-S_2\overrightarrow{BA}=S_2\overrightarrow{AM}-S_1\overrightarrow{MA}\)
\(\Leftrightarrow S_1\overrightarrow{AC}+S_2\overrightarrow{AB}=(S_1+S_2)\overrightarrow{AM}\) (đpcm)