Cho \(x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\)
Chứng minh rằng với \(a\ge\frac{1}{8}\)thì x là một số tự nhiên
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Căn thức đằng sau là căn bậc 2 hay căn bậc 3 bạn?
Căn bậc 2 thì x nó vô tỉ chứ hữu tỉ làm sao được
\(x^3=2a+3x.\sqrt[3]{a^2-\frac{\left(a+1\right)^2}{9}\left(\frac{8a-1}{3}\right)}\)
\(x^3=2a+3x\sqrt[3]{\frac{1-6a+12a^2-8a^3}{27}}\)
\(x^3=2a+3x\sqrt[3]{\left(\frac{1-2a}{3}\right)^3}\)
\(x^3=2a+\left(1-2a\right)x\)
\(x^3-x+2ax-2a=0\)
\(x\left(x^2-1\right)+2a\left(x-1\right)=0\)
\(\left(x-1\right)\left(x^2+x+2a\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+x+2a=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(x^2+x+\frac{1}{4}+2a-\frac{1}{4}=0\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+2\left(a-\frac{1}{8}\right)=0\)
Do \(a>\frac{1}{8}\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+2\left(a-\frac{1}{8}\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm \(\Rightarrow x=1\) hay x nguyên dương
Dấu ở giữa là cộng chứ nhỉ??
Đặt \(y=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}};z=\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^3+z^3=2a\\yz=\sqrt[3]{a^2-\frac{\left(a+1\right)^2\left(8a-1\right)}{27}}\\y+z=x\end{cases}=\sqrt[3]{\frac{27a^2-\left(8a^3+15a^2+6a-1\right)}{27}}=\sqrt[3]{\frac{\left(1-2a\right)^3}{27}}=\frac{1-2a}{3}}\)
Thay vào ta được:
\(x^3=\left(y+z\right)^3=y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)\)\(=2a+3\frac{1-2a}{3}x=2a+\left(1-2a\right)x\)
\(\Leftrightarrow x^3-\left(1-2a\right)x-2a=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x+2ax-2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2a+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2+2a+x=0\end{cases}}\)
Đến đây thì có lẽ là sẽ cm được \(x^2+2a+x>0\), mình chưa tìm ra cách cm.
KL : \(x=1\inℤ\)
\(x^3=2a+3x\sqrt[3]{a^2-\left(\frac{a+1}{3}\right)^2\left(\frac{8a-1}{3}\right)}\)
\(\Leftrightarrow x^3=2a+3x\cdot\frac{\sqrt[3]{\left(1-2a\right)^3}}{3}\)
\(\Leftrightarrow x^3=2a+x\left(1-2a\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+\left(2a-1\right)x-2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x+2a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\)(do \(x^2+x+2a\)vô nghiệm vì \(a>\frac{1}{8}\))
<=> x=1 nên là 1 số nguyên dương
\( x^3=a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}+a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}+3\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.x\)
=> \(x^3=2a+3\sqrt[3]{\left(a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)\left(a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)}.x\)
\(x^3=2a+3\sqrt[3]{a^2-\left(\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)^2}.x\)
\(x^3=2a+3\sqrt[3]{\left(\frac{1-2a}{3}\right)^3}.x\)=> \(x^3=2a+\left(1-2a\right).x\)
=> x3 = 2a + x - 2ax => x3 - x + 2ax - 2a = 0
=> x(x2 - 1) + 2a.(x -1) = 0
=> (x -1). (x2 + x + 2a) = 0
=> x - 1 = 0 hoặc x2 + x + 2a = 0
Mà x2 + x + 2a = x2 + 2.x . (1/2) + (1/4) + 2a -(1/4) = (x +1/2)2 + 2. (a - 1/8) > = 0 với mọi a > = 1/8
=> x2 + x + 2a = 0 Vô nghiệm
vậy x = 1 => x thuộc N