GIẢ SỬ:\(x,y,z>2\).TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC:
\(P=\frac{x}{\sqrt{y+z-4}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-4}}+\frac{z}{\sqrt{y+z-4}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Ta có : 2P = \(\frac{\sqrt{4x^2-4xy+4y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{4y^2-4yz+4z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{4z^2-4zx+4x^2}}{z+x+2y}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{\left(2y-z\right)^2+\left(\sqrt{3}z\right)^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{\left(2z-x\right)^2+\left(\sqrt{3}x\right)^2}}{z+x+2y}\)
Lại có \(\frac{\sqrt{\left[\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2\right]\left[\left(1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\right)\right]}}{x+y+2z}\ge\frac{\left[\left(2x-y\right).1+3y\right]}{x+y+2z}=\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)
=> \(\sqrt{\frac{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}{x+y+2z}}\ge\frac{x+y}{x+y+2z}\)(BĐT Bunyakovsky)
Tương tự ta đươc \(2P\ge\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{z+x}{2y+z+x}\)
Đặt x + y = a ; y + z = b ; x + z = c
Khi đó \(2P\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
=> \(P\ge\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
bài 8 : bỏ dấu hoặc rồi tính
a;( 17 - 299) + ( 17 - 25 + 299)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
tương tự ta có các trường hợp còn lại và ta có
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)
đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)
=> \(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+ca}\)
Áp dụng bđt svác sơ ta có
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
mạt khác Áp dụng bđt cô si ta có
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
=> \(S\ge\frac{3}{4}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z>o
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4y^2}+\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{3}{4}y^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\)
\(A=\frac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}{z}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(x+\sqrt{yz}\right)^2\)
Tương tự \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\ge\left(y+\sqrt{xz}\right)^2\)
\(\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+\sqrt{xz}\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\)
hay \(A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Đặt \(M=\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Ta có \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a^2,b^2,c^2\right)\)
Khi đó \(M=\frac{a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)}{a^2b^2c^2}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM ta có
\(a^5b^3+a^3b^5\ge2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)
\(b^5c^3+b^3c^5\ge2\sqrt{b^8c^8}=2b^4c^4\)
\(a^5c^3+a^3c^5\ge2\sqrt{a^8c^8}=2a^4c^4\)
Cộng từng vế ta được
\(a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)\ge2\left(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\right)\)
\(\ge2a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2019}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2019}}{3}\)
TA CÓ:
\(P=\frac{4x}{4\sqrt{y+z-4}}+\frac{4y}{4\sqrt{z+x-4}}+\frac{4z}{4\sqrt{x+z-4}}\)
ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC:
a2+4\(\ge\)4a
\(\Rightarrow P\ge\frac{4x}{y+z-4+4}+\frac{4y}{z+x-4+4}+\frac{4z}{4+z+x-4}=4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge6\)
DẤU BẰNG XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI x=y=z=4
NẾU AI CHƯA HIỂU ĐOẠN
\(4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge6\)
THÌ LÀM THẾ NÀY NHÉ:
TA CÓ:
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{x\left(y+z\right)}+\frac{y^2}{y\left(z+x\right)}+\frac{z^2}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge\frac{4.3}{2}=6\)