Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên n thì \(n^3-3n^2+2n\) luôn chia hết cho 6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
25 tháng 9 2017
Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;
CM
3 tháng 10 2019
A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6
HM
4
2 tháng 9 2023
Ta có:
\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)\)
\(=n\left(2n^2+2n+n+1\right)\)
\(=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)\)
\(=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)
Ta có \(n-1\) ; \(n\) và \(n+1\) là \(3\) số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2\) và \(3\)
Do đó \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)
\(\Leftrightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\left(1\right)\)
Ta lại có: \(n\) và \(n+1\) là 2 số nguyên liên tiếp \(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\)
Do đó: \(3n\left(n+1\right)⋮3\)
\(\Leftrightarrow3n\left(n+1\right)⋮2.3=6\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(2n^3+3n^2+n⋮6\)
2 tháng 9 2023
\(2n^3-3n^2+n\left(\forall n\inℤ\right)\)
\(=n\left(2n^2-3n+1\right)\)
\(=n\left(2n^2-2n-n+1\right)\)
\(=n\left[2n\left(n-1\right)-\left(n-1\right)\right]\)
\(=n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(2n+2\right)-3n\left(n-1\right)\)
\(=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-3n\left(n-1\right)\)
Ta có :
\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\) (tích 3 số liên tiếp)
\(\Rightarrow2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\left(1\right)\)
Ta lại có :
\(n\left(n-1\right)⋮2\) (tích 2 số liên tiếp là số chẵn)
\(\Rightarrow3n\left(n-1\right)⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\left(2\right)\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-3n\left(n-1\right)⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow2n^3-3n^2+n⋮6\left(\forall n\inℤ\right)\)
PN
2
4 tháng 4 2015
Ta có 2n3 + 3n2 + n = n(n + 1)(2n + 1)
Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) chia hết cho 2 nên n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 (1)
Vậy để 2n3 + 3n2 + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3
Thật vậy
Ta có TH1: n = 3k + 1 (k thuộc Z)
=> (3k + 1)(3k + 2)(6k + 3) chia hết cho 3
TH2: n = 3k + 2 (k thuộc Z)
=> (3k + 2)(3k + 3)(6k + 5) chia hết cho 3
=> n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2n3 + 3n2 + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết 2.3 = 6 với mọi số nguyên n
2 tháng 1 2017
bạn àm theo cách đòng dư thức á. Nếu bạn không biết làm thì nhắn xuống dưới mình giải dùm
18 tháng 7 2017
Ta có : n(2n - 3) - 2n(n + 1)
= 2n2 - 3n - 2n2 - 2n
= 2n2 - 2n2 - 3n - 2n
= -5n
Mà n nguyên nên -5n chia hết cho 5
18 tháng 7 2017
a, Ta có
n(2n-3)-2n(n+1)=2n2-3n-2n2-2n
=-5n chia hết cho 5
=> DPCM
b, Ta có (2m-3)(3n-2)-(3m-2)(2n-3)
Lại có (2m-3)(3n-2)=-(3-2m)(3-2n)=(3-2m)(2n-3)
=> (2m-3)(3n-2)-(3m-2)(2n-3)=(2m-3)(3n-2)-(2m-3)(3-2n)=0
=> (2m-3)(3n-2)-(3m-2)(2n-3)=0
=>(2m-3)(3n-2)-(3m-2)(2n-3) chia hết cho 5
=> DPCM
A
1
3 tháng 10 2016
\(2n^3+3n^2+n\)
\(=\left(2n^3+2n^2\right)+\left(n^2+n\right)\)
\(=2n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
\(n\left(n+1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.
n chia 3 có thể dư 1 ; 2 hoặc không dư.
Nếu không dư, tích chắc chắn chia hết cho 3
Với n = 3k + 1 thì 2n+1 = 2 ( 3k + 1 ) + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3
Với n = 3k + 2 thì n + 1 = 3k +2 + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3
Do đó tích trên luôn chia hết cho 2 và 3
Mà ( 2 ;3 ) = 1 nên tích chia hết cho 2 . 3 = 6
Vậy ...
TT
1
23 tháng 10 2016
Ta có:
\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)=n\left(2n^2+2n+n+1\right)=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)=n\left(n+1\right)\left(2n-2\right)+3n\left(n+1\right)=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)
Ta thấy:
\(n-1;n;n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp (\(n\in Z\)) => tích của chúng chia hết cho 2 và 3. \(\Rightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)
Và \(3n\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow2n^3+3n^2+n⋮6\)
TT
2
AT
3 tháng 10 2016
2n3+3n2+n=(2n3+2n2)+(n2+n)=2n2(n+1)+n(n+1)=n(n+1)(2n+1)n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.n chia 3 có thể dư 1 ; 2 hoặc không dư.Nếu không dư, tích chắc chắn chia hết cho 3Với n = 3k + 1 thì 2n+1 = 2 ( 3k + 1 ) + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3Với n = 3k + 2 thì n + 1 = 3k +2 + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3Do đó tích trên luôn chia hết cho 2 và 3Mà ( 2 ;3 ) = 1 nên tích chia hết cho 2 . 3 = 6Vậy ...
AT
3 tháng 10 2016
TA CÓ :
n^3 + 3n^2 + 2n = n( n^2 + 3n + 2) = n( n+1) (n+2).
Mà n(n+1)(n+2) là một số chia hết cho 2 và 3, nên nó chia hết cho 6.
\(n^3-3n^2+2n\)
\(=n^3-n^2-2n^2+2n\)
\(=n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)\)
\(=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)
\(=n\left(n-2\right)\left(n-1\right)⋮2.3=6\)