Cho tam giác ABC có AH là đường cao (H nằm giữa B và C ). Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của H xuống AB và AC. Chứng minh AB.AM = AC.AN
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N là hình chiếu của H lên AB và AC. CMR: AB.AM=AC.AN
Xét tứ giác AMHN có góc ANM = góc AHM (1) (2 góc trong tứ giác nội tiếp cùng nhìn xuống cạnh AM)
Mà góc AHM = góc B = 90o – BHM (2)
(1)(2) => góc ANM = góc B
Xét tam giác ANM và tam giác ABC có:
Góc A chung
Góc ANM = góc B
ð tam giác ANM đồng dạng tam giác ABC (g – g)
ð AN/AB = AM/AC
ð AN.AC = AB.AM
+Xét tứ giác ANHM:
AMH^ = 90o (HM _|_ AB)
ANH^ = 90o (HN _|_ AC)
=> AMH^ + ANH^ = 180o => tứ giác ANHM nội tiếp
+ Ta có: AMN^ = AHN^ (cùng chắn cung AN của (ANHM))
AHN^ = ACB^ (cùng phụ HNC^)
=> AMN^ = ACB^
+Xét tam giác AMN và tam giác ACB:
A^ chung (gt);
AMN^ = ACB^ (cmt)
=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB\cdot AM=AN\cdot AC\left(đpcm\right)\)
a
Đường tròn , đường kính có
.
vuông tại có
.
Chứng minh tương tự .
\(\Rightarrow\) .
B
Theo câu a ta có
.
Tam giác và tam giác có chung và .
(c.g.c).
\(\widehat{ACB}\)
c.
Tam giác vuông tại có là trung điểm của
.
cân tại
Theo câu b ta có \(\widehat{AMN}\)
Mà \(\widehat{BAD}\)
\(\widehat{BAD}\)
.
Ta chứng minh vuông tại có
.
Mà
\(\Rightarrow\) là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(AB.AM=AH^2\)
\(AC.AN=AH^2\)
suy ra: \(AB.AM=AC.AN\) (đpcm)