Cho tam giác ABC, O là điểm bất kì nằm tring tamm giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 4 2018
Lời giải:
Đặt \(S_{BOC}=S_1;S_{AOC}=S_2;S_{AOB}=S_3;S_{ABC}=S\)
Ta có \(\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{POB}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{POC}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{COB}}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
Tương tự:\(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{S_3+S_1}{S_2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}.\dfrac{OB}{OQ}.\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1.S_2.S_3}\ge\)
\(\ge\dfrac{2\sqrt{S_1.S_2}.2\sqrt{S_2.S_3}.2\sqrt{S_3.S_1}}{S_1.S_2.S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow\) O là giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC
N
12 tháng 2 2017
vì các đoạn thẳng trong bài hiển nhiên phải dương nên
áp dụng BĐT cauchy cho 3 số thực dương:
\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}}}\)(1)
xét tích \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}=\left(\frac{AP}{OP}-1\right)\left(\frac{BQ}{OQ}-1\right)\left(\frac{CR}{OR}-1\right)\)(2)
áp dụng hệ quả định lý tales:OK//AH(cùng vuông góc với BC)
\(\rightarrow\frac{AP}{OP}=\frac{AH}{OK}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)(2 tam giác chung cạnh đáy)
làm tương tự :\(\frac{BQ}{OQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}\);\(\frac{CR}{OR}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
thế vào (2): \(\left(\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}-1\right)=\frac{\left(S_{AOB}+S_{AOC}\right)\left(S_{AOB}+S_{BOC}\right)\left(S_{AOC}+S_{BOC}\right)}{S_{AOB}.S_{BOC}.S_{AOC}}\)
để biểu thực gọn hơn ta đặt \(\left\{\begin{matrix}S_{AOB}=x\\S_{AOC}=y\\S_{BOC}=z\end{matrix}\right.\),biểu thức trở thành
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:\(\left\{\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)(3)
từ (1),(2) và (3):\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{8}}=3\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}\right)^3}=3\sqrt{2}\)
dấu = xảy ra khi:\(\left\{\begin{matrix}\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}=\frac{OC}{OR}\\S_{AOB}=S_{BOC}=S_{COA}\end{matrix}\right.\)chứng tỏ O là trọng tâm của tam giác ABC
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
28 tháng 8 2016
a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)
Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)
Đặt \(S_{AOC}=x^2;S_{BOC}=y^2;S_{AOB}=z^2\) \(\left(x,y,z>0\right)\)
* Ta thấy tam giác AOB và BOP có chung đường cao kẻ từ B
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{OA}{OP}\). Tương tự \(\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{BOP}+S_{COP}}=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}\)
Tương tự \(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{y^2+z^2}{x^2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\)
* Áp dụng BĐT cau-chy ta có
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{y^4}}=\dfrac{2xz}{y^2}\) .
Tương tự \(\dfrac{y^2+z^2}{x^2}\ge\dfrac{2yz}{x^2}\) ; \(\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge\dfrac{2xy}{z^2}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}.\dfrac{y^2+z^2}{x^2}.\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge8\)* Áp dụng BĐT cauchy ta được
\(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{A}}=3\sqrt{2}\) - đpcm