Question

[Đạt Tuấn]

Cho p,q > 0 : \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1;u,v\ge0\)

CHứng minh rằng \(u.v\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\)

Cho f,g : \(\left[a,b\right]\rightarrow R\) Liên tục và p,q ở câu (a) ta luôn có :
\(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right).g\left(x\right)\right|dx\le\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx\right)^{\dfrac{1}{p}}\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx\right)^{\dfrac{1}{q}}\)

Answer 1

[Thảo Nguyễn Karry]

a) Xét f(u) = \(\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}-uv,u\ge0\)

( Xem v > 0 vì v = 0 : BĐT luôn đúng )

f '(u) = u^p-1 - v = 0 \(\Leftrightarrow\) u^p-1 = v \(\Leftrightarrow\) u = \(v^{\dfrac{q}{p}}\)

Vẽ bảng biến thiên ( tự vẽ )

Vậy \(uv\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\)

b)* Nếu \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx=0\) hay \(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx=0\)thì \(f\equiv0\)hay \(g\equiv0\) BĐT luôn đúng

Xét \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx>0\) và \(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx>0\)

Áp dụng BĐT câu (a) :

Với \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{\left|f\left(x\right)\right|}{\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|^pdx\right)^{\dfrac{1}{p}}}>0\\v=\dfrac{\left|g\left(x\right)\right|}{\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)\right|^qdx\right)^{\dfrac{1}{q}}}>0\end{matrix}\right.\)

\(uv\le\dfrac{u^p}{p}+\dfrac{v^q}{q}\left(1\right)\)

Lấy tích phân từ a \(\rightarrow\) b 2 vế BĐT (1) ta được :

\(\int\limits^b_auvdx\le\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)

Vậy : \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right).g\left(x\right)\right|dx\le\left(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)^p\right|dx\right)^{\dfrac{1}{p}}\left(\int\limits^b_a\left|g\left(x\right)^q\right|dx\right)^{\dfrac{1}{q}}\)

\(\Rightarrow\)(Đpcm )