Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(H=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+xz}=\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\)
Mặt khác,theo AM-GM: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" khi: \(x=y=z=1\)
Ai lm giúp mk vs câu nào cũng được. Ai làm xong sớm nhất sẽ được tick
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\right)(x^2+y^2+z^2)\geq \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow M.1\geq \frac{49}{16}\Leftrightarrow M\geq \frac{49}{16}\)
Vậy \(M_{\min}=\frac{49}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \((x,y,z)=(\sqrt{\frac{1}{7}}; \sqrt{\frac{2}{7}}; \sqrt{\frac{4}{7}})\)
1) \(\left(x-3\right)\left(x-5\right)+44\)
\(=x^2-3x-5x+15+44\)
\(=x^2-8x+59\)
\(=x^2-2.x.4+4^2+43\)
\(=\left(x-4\right)^2+43\ge43>0\)
\(\rightarrowĐPCM.\)
2) \(x^2+y^2-8x+4y+31\)
\(=\left(x^2-8x\right)+\left(y^2+4y\right)+31\)
\(=\left(x^2-2.x.4+4^2\right)-16+\left(y^2+2.y.2+2^2\right)-4+31\)
\(=\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2+11\ge11>0\)
\(\rightarrowĐPCM.\)
3)\(16x^2+6x+25\)
\(=16\left(x^2+\dfrac{3}{8}x+\dfrac{25}{16}\right)\)
\(=16\left(x^2+2.x.\dfrac{3}{16}+\dfrac{9}{256}-\dfrac{9}{256}+\dfrac{25}{16}\right)\)
\(=16\left[\left(x+\dfrac{3}{16}\right)^2+\dfrac{391}{256}\right]\)
\(=16\left(x+\dfrac{3}{16}\right)^2+\dfrac{391}{16}>0\)
-> ĐPCM.
4) Tương tự câu 3)
5) \(x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{2}\)
\(=x^2+2.x.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{2}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{7}{18}>0\)
-> ĐPCM.
6) Tương tự câu 5)
7) 8) 9) Tương tự câu 3).
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
Do \(x>0:\)
\(x^2+\dfrac{1}{x^2}=7\Leftrightarrow x^2+2.x.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=9\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=9\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=3\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=3^3\Leftrightarrow x^3+3x.\dfrac{1}{x}.\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{1}{x^3}=27\)
\(\Leftrightarrow x^3+3.1.3+\dfrac{1}{x^3}=27\Leftrightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\)
\(\Rightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)=7.18\Leftrightarrow x^5+\dfrac{1}{x}+x+\dfrac{1}{x^5}=126\)
\(\Leftrightarrow x^5+3+\dfrac{1}{x^5}=126\Rightarrow x^5+\dfrac{1}{x^5}=123\)
Ở dòng đầu gõ nhầm xíu \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=9\) chứ ko phải \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=9\)
2)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Do \(x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow3\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow1\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow4\ge xy+yz+xz+3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{3+xy+xz+yz}\) ( 1 )
Ta có \(C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{4}\)
Vậy \(C_{min}=\dfrac{9}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)