Cho x,y > 0. C/m \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
5
19 tháng 3 2017
PP : biến đổi tương đương
Bài làm
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)
Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)2 \(\ge\)4xy
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
Hay (x-y)2 \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )
Vậy..........
DH
1
3 tháng 9 2022
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{1}{x+y}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)
N
28 tháng 5 2017
\(\sum\dfrac{x^4y}{x^2+1}=\sum\dfrac{x^3.\dfrac{1}{z}}{x^2+xyz}=\sum\dfrac{x^2}{z\left(x+yz\right)}=\sum\dfrac{x^2}{xz+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz:
\(Vt=\sum\dfrac{x^2}{xz+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+3}\)
mà theo AM-GM: \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\)
hay \(3\le xy+yz+xz\)
do đó \(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
P/s: Câu này khoai
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2021
Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:
1.
\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
2.
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có: \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\)
Do đó: \(3\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
-------
Ta có: \(\text{VT}=x-\frac{xz}{x^2+z}+y-\frac{xy}{y^2+x}+z-\frac{yz}{z^2+y}\)
\(=(x+y+z)-\left(\frac{xy}{y^2+x}+\frac{yz}{z^2+y}+\frac{xz}{x^2+z}\right)\)
\(\geq x+y+z-\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{\sqrt{xy^2}}+\frac{yz}{\sqrt{z^2y}}+\frac{xz}{\sqrt{x^2z}}\right)\) (AM-GM)
\(=x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\)
Tiếp tục AM-GM: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}\)
Suy ra:
\(\text{VT}\geq x+y+z-\frac{1}{2}.\frac{x+y+z+3}{2}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}\)
\(\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
PT
0
PL
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 2 2019
Lời giải:
Xét hiệu \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-4=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-4\)
\(=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2+y^2}{xy}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 0, \forall x,y>0\)
Do đó \((x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\geq 4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \((x-y)^2=0\Leftrightarrow x=y\)
HN
2
4 tháng 8 2018
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) ( sửa đề )
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge9\)
Ta sẽ CM BĐT trên đúng bằng sử dụng Cô - Si , ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2\\\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}}=2\\\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{z}.\dfrac{z}{x}}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge6\)
\(\Leftrightarrow3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge9\)
\(\Rightarrowđpcm.\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z\)
BĐT đã cho tương đương với
\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy: BĐT cần c/m đúng