Question

[Huyền Anh Kute]

Cho hình thang ABCD(AB//CD).Các tia phân giác của góc A và D cắt nhau ở I,của góc B và C cắt nhau ở J.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Chứng minh 4 điểm M,N,I,J thằng hàng.

Help me!!! Cm: + M, N, I thẳng hàng.

+ N, I, J thẳng hàng.

Nếu cm đc 2 yếu tố đó sẽ suy ra đc M, N, I, J thẳng hàng!

Answer 1

[Đức Hiếu]

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAD}+\widehat{CDA}=180^o\\\widehat{ABC}+\widehat{DCB}=180^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=90^o\\\widehat{CBJ}+\widehat{BCJ}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AID}=90^o\\\widehat{BJC}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MI=\dfrac{1}{2}AD\\NJ=\dfrac{1}{2}BC\end{matrix}\right.\)

(do trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Xét tam giác MID cân tại M và tam giác NJC cân tại N ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IMD}=\widehat{DMI}\\\widehat{JNC}=\widehat{CNJ}\end{matrix}\right.\)(theo tính chất của tam giác cân)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MDI}=\widehat{CDI}\left(gt\right)\\\widehat{NCJ}=\widehat{DCJ}\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MID}=\widehat{IDC}\\\widehat{NJC}=\widehat{DCJ}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MI\text{//}DC\\NJ\text{//}DC\end{matrix}\right.\)(1)

(do có 1 cặp góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

Xét hình thang ABCD có AM=DM; BN=CN(gt)

Do đó MN là đường trung bình của hình thang

\(\Rightarrow MN\text{//}AB\text{//}CD\) (theo tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra M;I;J;N thằng hàng(áp dụng tiên đề Ơ-Clít)

Vậy....................(đpcm)

Answer 2

[Huyền Anh Kute]

Phạm Hoàng Giang, Linh Nguyễn, Nguyễn Huy Tú, Akai Haruma, Hung nguyen, Nguyễn Thị Hồng Nhung, Toshiro Kiyoshi, @Trần Hoàng Nghĩa, ...